См. также: Прикладная математическая статистика (материалы к семинарам)

 

Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т. 67. - № 1. - С. 52-64.

УДК 519.2

 

К  ОЦЕНИВАНИЮ  ПАРАМЕТРОВ  НАДЕЖНОСТИ  ПО ЦЕНЗУРИРОВАННЫМ  ВЫБОРКАМ

 

Б.Ю.Лемешко, С.Я.Гильдебрант, С.Н.Постовалов

Новосибирский государственный технический университет

E-mail: headrd@fpm.ami.nstu.ru

 

 

Введение

 

            Для определения параметров надеж­ности по незавершенным испы­та­ниям характерна ситуация, когда к моменту прекращения испытаний большой партии изделий наблюдается выход из строя лишь части из них, обычно достаточно малой по сравнению с объемом всей партии. В этом случае анализ при­ходится про­водить по выборке, сильно цензурированной справа. Особенно часто приходится сталкиваться с задачей обработки цензурированных выборок, когда наблюдению оказывается до­ступной только часть области определения случайной величины, а для вы­борочных значений, попавших левее или правее этой области, фикси­руется лишь сам факт этого попадания.

            Очевидно, что в такой неполной (цензурированной) выборке содер­жится меньше информации, чем в полной и это, естественно, отражается на точности оценивания параметров аппроксимирующего закона распределения. При цензурировании наблюдений снижается способность критериев согласия раз­личать близкие законы распределения. В этой связи оказывается интересным, насколько точно можно оценить параметры наблюдаемого закона в зави­симости от объема всей выборки  (объема партии) и величины наблю­дае­мой ее части? Как отразится на точности оценивания наличие в не­пол­ной выборке аномальных измерений и что дает в этом случае исполь­зование робастных оценок? Как отразится на количестве сохра­нившейся в выборке информации и на точности оценивания группирование наблюдаемой части неполной выборки? Ясно, что ответы на эти вопросы зависят и от выбора парамет­рической модели наблюдаемого закона.

            Толчком для проведения исследований (в основном численных, на моделируемых выборках), результаты которых излага­ются в данной ра­боте, послужила интересная на наш взгляд статья [1], в тексте которой, к сожалению, есть несколько опе­чаток, за­трудняющих ее восприятие.

            С точки зрения структуры данных цензурированные выборки являются частным случаем понятия час­тич­но группированной выборки, которую можно определить следу­ющим образом [2].

Определение. Выборка называется частично группированной, если имею­щаяся в нашем распоряжении информация связана с множеством непересе­кающихся интервалов, которые делят область определения случайной ве­личины на  непересека­ющихся интервалов граничными точками

,

где  - нижняя грань области определения случайной ве­ли­чины ,  - верхняя грань области определения случайной величины , так, что каж­дый интервал принадлежит к одному из двух типов:

а) -й интервал принадлежит к первому типу, если число  известно, но индивидуальные значения  неизвестны;

б) -й интервал принадлежит ко второму типу, если  известно не только число , но и все индивидуальные значения .

            В дальнейшем суммирование по интервалам первого и второго ти­пов (аналогично умножение) обо­значается соответ­ственно, как  и .

            Мы не будем акцентировать внимание на различии в цензурировании I-го и II-го типа, которое связано с условиями регистрации наблюдений, так как нет принципиальной разницы с точки зрения численной реализации оценивания пара­метров.

 

Количество информации Фишера как мера возможной точности оценивания

 

            Наиболее универсальным методом по отноше­нию к форме пред­став­ления выборочных данных является метод максимального правдо­подобия. В отличие от других метод позволяет находить оценки макси­мального правдоподобия (ОМП) параметров по негруппиро­ванным, час­тично груп­пированным и группи­рованным данным.

            Вопросы существования ОМП по частично группированным выбор­кам, свойства таких оценок анализируются в [2]. Можно сказать, что час­тично группированная выборка является наиболее простым вариантом не­полных выборок. Исследованию более сложных ситуаций неполных выбо­рок посвящены работы [3-8]. Обширную библиографию работ по обработке цензурированных выборок можно найти в [7-8].

            ОМП неизвестного параметра по частично группированным наблю­дениям называется такое значение параметра, при котором функция прав­доподобия

,                          (1)

где  - некоторая константа;  - функция плотности слу­чайной ве­ли­чины;  - вероятность попадания на­­блю­дения в -й ин­тервал значений, достигает максимума на множестве возможных зна­че­ний параметра. При вычислении ОМП максимизируют (1) или решают си­стему уравнений правдоподобия

,                  (2)

где  - размерность вектора параметров .

            В случае группированных или частично группированных данных си­стема (2), за редким исключением, решается только численно. И хотя прин­ципиальных трудностей нет, для ряда параметрических моделей законов, используемых в задачах надежности и контроля качества, попутно возни­кает необходимость в решении задач чис­ленного интегрирования, в том числе вычисления несобственных интегра­лов [9].

            При выборке, цензурированной с двух сторон, являющейся частным случаем частично группированной выборки, область определения слу­чай­ной величины разбита на 3 интервала граничными точками  так, что значения левее  и правее  не наблюдаются. И система (2) прини­мает вид

.      (3)

            Если оценивается скалярный параметр, то асимптотическая дисперсия его ОМП определяется соотношением

,                                              (4)

где информационное количество Фишера определяется соотношением

.  (5)

            Если выборка цензурирована только справа, то в выражении исчезает левое слагаемое, только слева - правое слагаемое. Это соотношение позво­ляет судить о потерях информации о параметре распределения в зависи­мости от степени цензурирования слева или справа.

            Об эффективности оценивания параметров по цензурированной выборке по отношению к оцениванию по полной выборке можно судить по величине , где  – количество информации Фишера в полной выборке. В табл. 1 приведены значения  в зависимости от степени цен­зури­рования для распределений экспоненциального с плотностью , Вейбулла - , нормального (лога­риф­­­ми­чес­ки нор­мального) - , Лапласа - , Рэлея - , гамма-распределения . В случае векторного параметра в таб­лице приведены значения отношения опре­делителей соответству­ющих информа­цион­ных матриц: . В зависи­мос­ти от закона цензурирование справа и слева различным образом влияет на по­тери информации о параметрах. Так о параметре экспоненциаль­ного рас­пределения при той же степени цензури­рования слева в выборке сохра­ня­ется существенно больше инфор­мации, чем при цензури­ровании справа. Это же характерно для распределения Вейбулла. В случае гамма-распре­деления величина отношения  зави­сит от параметра формы  этого распределения и “перерас­пре­деляется” между параметрами закона с его ростом. В табл. 1 ее значения для гамма-распределения приведены для значений параметра формы 0.5 и 2.

 

Таблица 1.

Отношение количества информации Фишера в наблюдении цензурированной выборки к количеству информации в нецензурированной   

 

Наблю- даемая

О масштабном пара­мет­ре распределений экспо­ненци­ального и Вейбулла

О параметре формы распределения

Вейбулла

 

О двух параметрах распределения Вейбулла

часть %

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

100

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

60

0.9914

0.6000

0.7091

0.4343

0.6389

0.2658

50

0.9805

0.5000

0.6343

0.4011

0.5256

0.1771

40

0.9597

0.4000

0.5680

0.3878

0.4076

0.1093

30

0.9212

0.3000

0.5168

0.3859

0.2878

0.0595

20

0.8476

0.2000

0.4883

0.3814

0.1707

0.0257

10

0.6891

0.1000

0.4830

0.3405

0.0654

0.0063

5

0.5223

0.0500

0.4654

0.2718

0.0234

0.0015

 

 

Наблю- даемая

О параметре сдвига нормального распределения

О параметре масштаба нормального распределения

О двух параметрах нормального распределения

О параметре масштаба распределения Лапласа

 

О пара­мет­ре

распределения Рэлея

часть %

Цензуриро­вание слева*)

Цензуриро­вание слева*)

Цензуриро­вание слева*)

Цензуриро­вание слева*)

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

100

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

60

0.8753

0.5599

0.4399

0.6131

0.9914

0.6000

50

0.8183

0.5000

0.3296

0.6103

0.9805

0.5000

40

0.7467

0.4601

0.2311

0.5918

0.9597

0.4000

30

0.6550

0.4399

0.1457

0.5538

0.9212

0.3000

20

0.5336

0.4309

0.0754

0.4885

0.8476

0.2000

10

0.3591

0.4252

0.0239

0.3740

0.6891

0.1000

5

0.2318

0.3795

0.0073

0.2730

0.5223

0.0500

Наблю- даемая

О параметре формы гамма-распределения ()

О параметре масштаба гамма-распределения ()

О двух параметрах гамма-распределения ()

часть %

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

100

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

60

0.6693

0.9698

0.9984

0.4750

0.4756

0.3201

50

0.5819

0.9484

0.9955

0.3715

0.3589

0.2163

40

0.4902

0.9157

0.9876

0.2778

0.2522

0.1343

30

0.3927

0.8646

0.9681

0.1939

0.1586

0.0730

20

0.2865

0.7796

0.9208

0.1196

0.0812

0.0311

10

0.1651

0.6192

0.7925

0.0554

0.0251

0.0075

5

0.0935

0.4615

0.6321

0.0265

0.0076

0.0018

Наблю- даемая

О параметре формы гамма-распределения ()

О параметре масштаба гамма-распределения ()

О двух параметрах гамма-распределения ()

часть %

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

Цензуриро­вание слева

Цензуриро­вание справа

100

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

60

0.7770

0.9353

0.9759

0.6895

0.4395

0.4171

50

0.7022

0.8985

0.9548

0.5981

0.3284

0.3071

40

0.6168

0.8475

0.9208

0.5005

0.2296

0.2108

30

0.5177

0.7758

0.8659

0.3957

0.1444

0.1292

20

0.3993

0.6697

0.7737

0.2815

0.0749

0.0642

10

0.2483

0.4955

0.6002

0.1543

0.0248

0.0190

5

0.1498

0.3470

0.4369

0.0825

0.0089

0.0054

*)  – при левом и правом цензурировании ситуация идентична.

 

            Если задаться максимально допустимой асимптотической дисперсией, величина которой определяется соотношением (4), то в зависимости от сте­пени цензурирования можно оценить минимально необходимый объем вы­борки, при котором она должна быть не хуже заданной. Или, наоборот, по объему выборки оценить максимально возможную степень цензу­ри­рова­ния, еще обеспечивающую требуемую точность оценивания.

            Например, результаты исследования точности вычис­ле­ния ОМП параметров распределения Вейбулла в зависимости от степени цен­зурирования справа или слева показали, что, так как при той же степени цензурирования слева в вы­борке сохраняется больше инфор­мации о параметрах распределения, то это положительно сказывается и на точности оценивания.

            Аналогичные результаты по оцениванию по цензури­рованным вы­боркам ОМП одно­временно двух пара­метров логарифмически нормального распре­де­ления подтвердили, что, так как потери информации одина­ковы при одной и той же степени цензуриро­вания слева и справа, то это одинаково отражается и на точности оценива­ния параметров нор­мального и логарифмически нормального рас­пре­де­ле­ний.

            Асимптотическая дисперсия является теоретической характеристикой точности оценивания. Реально же точность оценивания (дисперсия оценки) не в последнюю очередь зависит от особенностей случайной выборки (от возможного нали­чия в ней аномальных наблюдений, от того, действи­тель­но ли наблюдаемая выборка принад­леж­ит предполагаемому закону).

 

Экспериментальные оценки точности оценивания по цензурированным выборкам

 

            Реальную картину того, насколько точно можно оценить параметры закона по цензурированной выборке в зависимости от объема полной вы­борки  дают результаты исследования методами статистического моде­лирования, представленные в таблицах 2-7. Количество  моделируемых выборок, по которым исследовались законы распределения оценок по выборкам объема , во всех рассматриваемых в дальнейшем случаях было взято равным 1000. В табл. 2 приведены полу­ченные значения отношения дисперсии ОМП параметра масштаба экспоненциального распределения по полной выборке  к дисперсии ОМП по цензури­рованной  при различной степени цензурирования (различной величине наблюдаемой части выборки) и различном объеме полной выборки :  (относительная эффективность оценивания). При построении распределений оценок моделировались выборки по экспоненциальному закону с параметром масштаба . Находилась оценка по полной выборке, и по той же самой, но предварительно цензурированной выборке.

 

Таблица 2.

Относительная эффективность оценивания параметра экспоненциального распределения по цензурированным выборкам по сравнению с оцениванием по полной выборке  в зависимости от объема выборки n

Наблю-даемая часть

n = 2000

n = 1000

n = 500

 

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание справа

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание справа

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание справа

100%

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

60%

1,0358

0,6677

0,9558

0,5899

0,9342

0,6806

50%

1,0159

0,5193

0,9706

0,5164

0,9794

0,5598

40%

1,0611

0,4310

0,9907

0,4179

0,9084

0,4441

30%

1,0009

0,3249

0,9413

0,2829

0,8986

0,3118

20%

0,9166

0,2050

0,8629

0,1983

0,7497

0,2235

10%

0,6972

0,0992

0,6952

0,0884

0,6950

0,0957

5%

0,5618

0,0555

0,5204

0,0456

0,5089

0,0457

Наблю-даемая часть

n = 300

n = 200

n = 100

 

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание справа

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание справа

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание справа

100%

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

60%

1,0460

0,5326

0,9699

0,4984

0,9623

0,6078

50%

1,0181

0,4729

0,9886

0,4171

0,9367

0,5084

40%

0,9755

0,3675

0,9978

0,3449

0,9401

0,3833

30%

0,9652

0,2979

0,9468

0,2332

0,8670

0,2848

20%

0,8841

0,2051

0,8578

0,1684

0,8204

0,1691

10%

0,7386

0,0932

0,6985

0,0783

0,6533

0,0582

5%

0,5676

0,0395

0,5349

0,0328

0,4847

0,0191

 

Таблица 3.

Относительная эффективность оценивания двух параметров нормального распределения по цензурированным выборкам по сравнению с оцениванием по полной выборке  в зависимости от объема выборки n

 

Наблю-даемая часть

n = 2000

n = 1000

n = 500

n = 300

n = 200

n = 100

 

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание слева

Цензуриро-вание слева

100%

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

60%

0,4326

0,4200

0,5000

0,4219

0,4020

0,4045

50%

0,3144

0,2945

0,3615

0,2913

0,3439

0,2967

40%

0,2259

0,2368

0,2646

0,2269

0,2212

0,2119

30%

0,1298

0,1412

0,1677

0,1345

0,1298

0,1348

20%

0,0674

0,0734

0,0835

0,0713

0,0793

0,0601

10%

0,0237

0,0252

0,0248

0,0269

0,0253

0,0210

5%

0,0077

0,0067

0,0087

0,0071

0,0073

0,0082

 

 

Если сравнить полученные на основании моделирования и приведенные в табл. 2 оценки значений относительной эффективности со значениями асимптотической эффективности из соответствующих колонок табл. 1, то увидим, что ре­зультаты моделирования в целом подтверждают результаты, представленные в табл. 1. В колонках табл. 2 и 3 содержатся значения большие и меньшие соответствующих теоретических значений из табл. 1 (как и положено оценкам). В некоторых случаях, когда асимптотическая эффек­тивность близка к 1 (при малых потерях информации), её оценки (значения относительной эффективности оценивания) могут оказаться и иногда оказываются больше 1 (например, теоретическая – 0.9914, выборочная – 1.0358, см. табл. 1 и 2). Это объясняется тем, что ОМП по цензурированным выборкам обладают большей устой­чивостью (давно известный и исполь­зу­емый на практике факт). И те отклонения в выборке, которые повлияли на ОМП по полной выборке, могут не повлиять на ОМП по цензурированной (если они попали в ненаблюдаемую область). Именно поэтому выборочная дисперсия ОМП по полным выборкам может оказаться (и иногда оказы­ва­ется) больше выборочной дисперсии ОМП по цензурированным (при условии близости соответ­ству­ющих асимптотических дисперсий).

Сравнивая значения, представленные в табл. 2, с соответствующими значениями асимптотической эффективности для экспоненциального закона при цензурировании слева и справа, приведенными в табл. 1, можно судить о возможной точности оценивания по соответствующей части наблюдаемой выборки в зависимости от объема полной выборки .

На рис. 1-2 представлены построенные плотности оценок  и  параметра масштаба экспоненциального закона для =2000 и =100 при различной степени цензурирования справа. С уменьшением  и увеличением степени цензурирования увеличивается асимметрия закона распределения .

Рис.1. Плотности распределения оценок масштабного параметра экспоненциального

распределения при цензурировании справа при различной величине (%) наблюдаемой

области определения случайной величины и полном объеме выборки =2000.

 

Рис.2. Плотности распределения оценок масштабного параметра экспоненциального

распределения при цензурировании справа при различной величине (%) наблюдаемой

области определения случайной величины и полном объеме выборки =100.

 

            Табл. 3, аналогично табл. 2, характеризует полученные в ре­зультате статистического моделирования значения относительной эффективности оце­ни­вания по цензурированным выборкам двух параметров нормального закона в зависимости от . В таблице приведены значения  (сравните с соответствующими  значениями эффективности, представленными в табл. 1). Рис. 3-4 иллюстрируют законы распределения оценок  и параметров нормального закона при различной степени цензурирования слева. При цензурировании справа для распределений оценок  имеем кар­тину зеркального отражения по отношению к распределениям, представ­ленным на рис. 3.

Рис.3. Плотности распределения оценок параметра сдвига нормального

распределения при цензурировании слева при различной величине (%) наблюдаемой

области определения случайной величины и объеме выборки =100.

 

Рис.4. Плотности распределения оценок масштабного параметра нормального

распределения при цензурировании слева (справа) при различной величине (%) наблюдаемой области определения случайной величины и объеме выборки =100.

 

            В целях определения возможной точности оценивания параметров по цензурированным выборкам исследовались распределения величин вида . Результаты показали, что эти распределения при малых  и большой степени цензурирования оказываются существенно асимметричны­ми. На рис. 5 приведены распределения величины  для масштабного параметра экспоненциального закона при объеме выборки =100. В таблицах 4-5 приведены значения выборочных среднего  и среднеквадратического отклонения  вели­чин  в случае экспоненциального закона при различном объеме выборок и различной степени цензури­ровании слева и справа. Приводимые в таблицах значения  позволяют судить о смещении оценок , а значения  – о их точности. Анализируя результаты, можно отметить, что если при цензурировании слева оценки  параметра масштаба экспоненциального закона практически несмещенные, то при цензурировании справа они оказываются существенно смещенными вправо. Причем смещение растет с уменьшением наблюдаемой части выборки и уменьшением полного объема выборки.

Таблица 4.

Точность оценивания параметра экспоненциального закона по цензурированной слева выборке (параметры нормального закона, аппроксимирующего распределение величин )

Наблюда­е­мая часть

n = 2000

n = 1000

n = 500

 

60%

0,0001

0,0020

0,0000

0,0031

0,0000

0,0042

50%

-0,0002

0,0032

0,0000

0,0045

0,0000

0,0064

40%

-0,0001

0,0048

0,0004

0,0063

0,0001

0,0092

30%

-0,0002

0,0063

-0,0004

0,0093

-0,0004

0,0131

20%

-0,0006

0,0094

0,0004

0,0136

-0,0003

0,0193

10%

0,0001

0,0149

0,0003

0,0209

0,0003

0,0301

5%

-0,0009

0,0213

-0,0007

0,0305

-0,0011

0,0427

Наблюдае­мая часть

n = 300

n = 200

n = 100

 

60%

0,0000

0,0052

0,0000

0,0067

0,0006

0,0098

50%

0,0000

0,0083

0,0001

0,0098

-0,0001

0,0145

40%

0,0000

0,0117

0,0003

0,0150

-0,0002

0,0207

30%

-0,0008

0,0164

-0,0008

0,0214

-0,0019

0,0300

20%

0,0005

0,0251

-0,0002

0,0300

0,0007

0,0436

10%

-0,0026

0,0370

0,0031

0,0481

-0,0023

0,0706

5%

0,0006

0,0567

0,0010

0,0662

0,0021

0,0953

 

Таблица 5.

Точность оценивания параметра экспоненциального закона по цензурированной справа выборке (параметры нормального закона, аппроксимирующего распределение  величин )

Наблюда­е­мая часть

n = 2000

n = 1000

n = 500

 

60%

0,0005

0,0178

0,0000

0,0252

-0,0023

0,0362

50%

0,0000

0,0219

-0,0009

0,0309

-0,0025

0,0455

40%

-0,0020

0,0277

-0,0033

0,0401

-0,0012

0,0544

30%

0,0014

0,0359

-0,0026

0,0465

-0,0048

0,0667

20%

-0,0003

0,0445

-0,0059

0,0648

-0,0073

0,0869

10%

-0,0092

0,0682

-0,0080

0,0946

-0,0198

0,1353

5%

-0,0109

0,1025

-0,0212

0,1425

-0,0415

0,2116

Наблюда­е­мая часть

n = 300

n = 200

n = 100

 

60%

-0,0008

0,0460

-0,0046

0,0605

-0,0088

0,0831

50%

-0,0035

0,0574

-0,0046

0,0693

-0,0079

0,1078

40%

-0,0039

0,0719

-0,0078

0,0898

-0,0137

0,1254

30%

-0,0109

0,0914

-0,0120

0,1099

-0,0357

0,1716

20%

-0,0120

0,1207

-0,0186

0,1471

-0,0376

0,2162

10%

-0,0211

0,1788

-0,0519

0,2331

-0,1022

0,3762

5%

-0,0676

0,2865

-0,1170

0,3831

-0,2221

0,6734

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5. Плотности распределения величины  для оценок масштабного параметра экспоненциального закона при цензурировании справа при различной величине (%) наблюдаемой области определения случайной величины и объеме выборки =100.

 

Рис. 6. Плотности распределения величины  для оценок параметра сдвига нормального закона при цензурировании слева при различной величине (%) наблюдаемой области определения случайной величины и объеме выборки =100.

 

            В табл. 6-7 представлены результаты, полученные при исследовании точности оценивания параметров нормального закона (величин  и ) по цензурированной слева выборке. В приводимых таблицах представлены значения выборочного среднего  и среднеквадратического отклонения  для величин  и . Как видим, в данном случае с уменьшением наблюдаемой части выборки и уменьшением объема выборки  увеличивается смещение обеих оценок  и и увеличивается дисперсия этих оценок. При этом цензурирование слева приводит к смещению оценки параметра сдвига вправо, а цензурирование справа – к смещению оценки параметра сдвига влево. Для параметра масштаба нормального распределения цензурирование слева или справа приводит к смещению оценки параметра масштаба влево. На рис. 6 приведены распределения величины  для параметра сдвига нормального закона при объеме выборки =100. В данном случае распределения обладают большей симметрией.

 

Таблица 6.

Точность оценивания параметра сдвига при оценивании двух параметров нормального распределения по цензурированной слева выборке (параметры нормального закона, аппроксимирующего распределение величин )

Наблюдае­мая часть

n = 2000

n = 1000

n = 500

 

60%

-0,0001

0,0001

-0,0007

0,0003

-0,0006

0,0006

50%

-0,0006

0,0002

-0,0012

0,0005

-0,0024

0,0010

40%

-0,0002

0,0005

-0,0020

0,0010

-0,0014

0,0019

30%

-0,0013

0,0010

-0,0017

0,0021

-0,0029

0,0038

20%

-0,0005

0,0024

-0,0065

0,0047

-0,0096

0,0101

10%

-0,0087

0,0080

-0,0189

0,0172

-0,0262

0,0315

5%

-0,0310

0,0239

-0,0435

0,0435

-0,0713

0,0933

Наблюдае­мая часть

n = 300

n = 200

n = 100

 

60%

-0,0017

0,0008

-0,0030

0,0014

-0,0037

0,0027

50%

-0,0044

0,0017

-0,0064

0,0027

-0,0104

0,0050

40%

-0,0072

0,0034

-0,0047

0,0054

-0,0130

0,0098

30%

-0,0106

0,0067

-0,0168

0,0097

-0,0278

0,0220

20%

-0,0165

0,0170

-0,0299

0,0227

-0,0503

0,0455

10%

-0,0586

0,0552

-0,0775

0,0837

-0,1551

0,1515

5%

-0,1295

0,1523

-0,2264

0,2465

-0,3390

0,4480

 

Таблица 7.

Точность оценивания параметра масштаба при оценивании двух параметров нормального распределения по цензурированной слева выборке (параметры нормального закона, аппроксимирующего распределение величин )

Наблюдае­мая часть

n = 2000

n = 1000

n = 500

 

60%

0,0002

0,0003

0,0010

0,0005

0,0009

0,0010

50%

0,0006

0,0004

0,0012

0,0007

0,0022

0,0014

40%

0,0003

0,0006

0,0023

0,0011

0,0009

0,0022

30%

0,0012

0,0008

0,0010

0,0018

0,0026

0,0033

20%

0,0004

0,0015

0,0050

0,0030

0,0066

0,0064

10%

0,0060

0,0034

0,0116

0,0073

0,0148

0,0132

5%

0,0156

0,0071

0,0223

0,0131

0,0386

0,0280

Наблюдае­мая часть

n = 300

n = 200

n = 100

 

60%

0,0024

0,0016

0,0035

0,0026

0,0045

0,0051

50%

0,0042

0,0024

0,0069

0,0039

0,0115

0,0072

40%

0,0063

0,0039

0,0043

0,0061

0,0123

0,0111

30%

0,0099

0,0057

0,0153

0,0088

0,0220

0,0186

20%

0,0108

0,0107

0,0204

0,0144

0,0342

0,0292

10%

0,0360

0,0229

0,0464

0,0339

0,0947

0,0636

5%

0,0688

0,0464

0,1135

0,0731

0,1744

0,1370

 

 

Влияние аномальных измерений на оценки по цензурированным выборкам

 

            Метод максимального правдоподобия наиболее хорошо адаптируется к форме регистрации наблюдений (группированные наблюдения, частично группированные, цензурированные), но это не означает, что в любой си­туации он оказывается наилучшим, так как ОМП в недостаточной мере об­ладают свойствами робастности. При увеличении степени цензури­ро­ва­ния ОМП становятся более чувствительными к имеющимся в наблюдаемой части выборки от­клоне­ниям от предполагаемого закона распределения.

Иссле­до­вание потерь ин­формации, происходящих при дополнительном группировании наблюда­е­мой об­ласти цен­зурированной справа случайной величины, распределен­ной по экспо­ненциальному закону, показало, что при большой степени цензу­ри­рования разбиение области наблюдения на интервалы практически не сопро­вож­да­ется дополнительными потерями. То есть количес­тва инфор­мации Фишера в выборке, сильно цензурированной справа точкой , и в выборке, сгруппированной в 2 интервала с разделяющей их границей , отли­чаются незначительно. Это означает, что ОМП параметра экспонен­циального закона по сгруппированным в 2 интервала данным, получаемая в качестве решения уравнения (3), в котором будет отсутствовать среднее слагаемое, и имеющая вид [10]

                                                  (6)

обладает практически той же асимптотической дисперсией, что и ОМП по цензурированной выборке, но является более робастной.

            На получаемые оценки параметров существенное влияние оказывает наличие в выборке аномальных измерений. Многочисленные вычис­ли­тельные эксперименты показали, что присутствие аномальных измерений в наблюдаемой области сильно цензурированной выборки отражается на оценках еще более заметно.

В качестве примера, для выборки, смоделиро­ванной по распределению Вейбулла объемом 1000 наблюдений, вычислили ОМП параметров (, ). Затем два пра­вых наблюдения 2.4451 и 2.7853 были заменены на 12.4451 и 12.7853. ОМП, вы­численные по полной и цен­зурированным слева выборкам представ­лены в левом столбце табл. 8 и, как видим, полу­чаются очень плохими.

            Если выборку процен­зурировать и справа, то получаемые ОМП дол­жны стать более робастными [11,12]. Выборки, цензурированные слева, до­полнительно были процензурированы справа точкой 2.13, правее которой по­пало 10 наблю­дений. Результаты вычислений по выборке, цензуриро­ван­ной с двух сторон (степень цензурирования слева менялась как и ранее), приведены во второй колонке этой же таблицы.

            L-оценки (с использованием выборочных квантилей) и MD-оценки обладают лучшими свойствами робаст­ности по сравнению с ОМП [13]. MD-оценки получаются при минимизации расстояния между эмпирической и теоретической функциями распределения. В качестве меры близости эм­пи­рического и теоретического распределений можно использовать статис­тики непараметрических критериев согласия. Особенностью получения MD-оце­нок по цензурированным данным является неопределенность пове­дения эмпири­ческой функции распределения на интервалах цензурирова­ния. Чтобы устранить эту неопределенность, необходимо сделать предпо­ло­жения о характере согласия наблюдений и теоретической модели. Так, на­пример, если предположить, что в интервалах цензурирования эмпири­че­ская функция распределения проходит на наименьшем расстоянии от тео­ретической, то мы получим оценку “крайнего оптимиста”, если же пред­по­ложить обратное (на максимально возможном расстоянии), то получим оценку “крайнего пессимиста”. В последней колонке табл. 8 пред­­ставлены MD-оценки параметров, полу­ченные минимизацией статис­тики, исполь­зуемой в критерии -Мизеса, с точки зрения “крайнего оптимиста”.

Таблица 8.

Влияние аномальных наблюдений на точность оценивания параметров распределения Вейбулла по цензурированной слева выборке (n=1000)

 

 

 

Наблю- даемая

ОМП по цензурированной слева выборке

ОМП по выборке, цензурированной с двух сторон

MD-оценки по цензурированной слева выборке

часть %

100

1.5209

0.9895

2.0334

0.9799

1.9634

0.9813

60

1.4280

0.9539

1.9644

0.9821

1.9533

0.9805

50

1.3830

0.9314

1.9564

0.9807

1.9407

0.9794

40

1.3285

0.8979

1.9381

0.9771

1.9563

0.9814

30

1.2621

0.8579

1.9955

0.9902

2.0162

0.9896

20

1.1338

0.7606

1.8969

0.9634

1.8574

0.9566

10

0.9569

0.5903

1.9288

0.9723

1.9217

0.9709

5

0.7446

0.3754

1.8041

0.9264

1.7649

0.9175

 

 

            Как видим, на робастные оценки и при сильно цензурированных выборках в меньшей степени отражается наличие аномальных измерений.

 

Цензурированные выборки и оптимальное группирование

 

            При исследованиях надежности не редкой оказывается ситуация, когда в наблюдаемой области сильно цензурированной выборки (например, справа) точные моменты выхода изделий из строя не могут фиксироваться. В этом случае проверка работоспособности осуществляется в конкретные заданные моменты времени. По существу вследствие условий регистрации наблюдений имеется возможность получить только полностью груп­пи­ро­ванную выборку, по которой и приходится оценивать параметры распре­де­ления.

            В связи с рассмотренной ситуацией нельзя не сделать следующего за­мечания. Совершенно непонятно, почему в п. 5.1.5 руководящего доку­мента по стандартизации РД 50-690-89 [14] в такой ситуации рекомендуется использовать биномиальное распределение. Ничто не меша­ет определять параметры надежности, опираясь на тот закон распре­деления, модель кото­рого является наиболее подходящей для конкретной ситуации. Например, для вычисления ОМП параметров достаточно численно решить систему вида (2), в которой в левой части будет только первое слагаемое.

            Если проверка работоспособности может проводиться только в фик­сированные моменты времени, возникает естественный вопрос, как при за­данной степени цензу­ри­рования выбирать моменты регистрации так, что­бы потери информации о на­блю­даемом законе (о параметрах надеж­ности) были минимальны. Можно ре­шить задачу асимптотически опти­мального груп­пирования (АОГ), при ко­то­рой минимизируются потери в количестве инфор­мации Фишера (мини­ми­зируется асимптотическая дис­пер­сия оценки параметра по груп­пиро­ван­ным данным или асимптоти­чес­кая обобщенная дисперсия оценки вектора параметров) [2,12,15,16]. Однако в данном случае из-за заданной сте­пени цензури­рования справа будем иметь задачу с до­полни­тельным ограни­че­нием вида  (или ):

,                                       (7)

.

где информационная матрица Фишера по группированным данным ­

.          (8)

            Для рассмотренных в данной работе распределений решения задачи АОГ может быть получено в виде инвариантном относительно параметров распределений. Например, в табл. 9 представлены решения задачи АОГ для масш­таб­ного параметра экспоненциального распределения при заданной сте­пе­ни цен­зурировании справа, где оптимальные квантили заданы в виде  . Решение аналогичной задачи при цензурировании слева приведено в табл. 10. В по­следнем случае дополнительное ограничение в задаче (7) принимает вид:  (или ). В таблицах указано, какая часть информа­ции сохра­ня­ется в цензурированной выборке по отношению к полной, а также относи­тельная информация , характе­ри­зующая, ка­кое количество информации сохра­няется при группировании на­блюдаемой области. Эти же таблицы дают решение задачи АОГ для масштаб­ного пара­метра распре­деления Вейбулла при , а при  для параметра распределения Рэлея. Отметим, что при той же сте­пени цензурировании слева в выборке сохраняется существенно больше информации о соответ­ствую­щем параметре распределения, чем при цен­зурировании справа.

 

Таблица 9.

Асимптотически оптимальное группирование наблюдаемой области слева при цензурировании справа для параметров распределений экспоненциального, Рэлея и масштабного параметра Вейбулла

k

A

Доступны наблюдению 50% выборки:

2

0,6931

 

 

 

 

 

 

 

0,9609

3

0,4339

0,6931

 

 

 

 

 

 

0,9874

4

0,1832

0,4087

0,6931

 

 

 

 

 

0,9954

5

0,1204

0,2708

0,4550

0,6931

 

 

 

 

0,9973

6

0,1124

0,2486

0,3534

0,4984

0,6931

 

 

 

0,9983

7

0,1003

0,2076

0,3123

0,4022

0,5208

0,6931

 

 

0,9988

8

0,0990

0,2175

0,3040

0,3859

0,4574

0,5726

0,6931

 

0,9991

9

0,0791

0,1571

0,2372

0,3094

0,3767

0,4706

0,5628

0,6931

0,9993

Доступны наблюдению 40% выборки:

2

0,5108

 

 

 

 

 

 

 

0,9785

3

0,1660

0,5108

 

 

 

 

 

 

0,9930

4

0,1744

0,3260

0,5108

 

 

 

 

 

0,9976

5

0,1392

0,2566

0,3498

0,5108

 

 

 

 

0,9985

6

0,0922

0,1832

0,2937

0,3750

0,5108

 

 

 

0,9991

7

0,0684

0,1497

0,2222

0,3026

0,3993

0,5108

 

 

0,9994

8

0,0810

0,1543

0,2286

0,2858

0,3376

0,4135

0,5108

 

0,9995

9

0,0547

0,1162

0,1911

0,2484

0,3063

0,3562

0,4207

0,5108

0,9996

Доступны наблюдению 30% выборки:

2

0,3567

 

 

 

 

 

 

 

0,9895

3

0,1035

0,3567

 

 

 

 

 

 

0,9961

4

0,1028

0,2000

0,3567

 

 

 

 

 

0,9987

5

0,1087

0,1979

0,2831

0,3567

 

 

 

 

0,9993

6

0,0685

0,1311

0,1843

0,2597

0,3567

 

 

 

0,9995

7

0,0530

0,1180

0,1900

0,2378

0,2821

0,3567

 

 

0,9997

8

0,0494

0,0994

0,1482

0,1914

0,2483

0,2891

0,3567

 

0,9998

9

0,0490

0,0923

0,1264

0,1649

0,2149

0,2449

0,2980

0,3567

0,9998

Доступны наблюдению 20% выборки:

2

0,2231

 

 

 

 

 

 

 

0,9959

3

0,0830

0,2231

 

 

 

 

 

 

0,9988

4

0,0608

0,1222

0,2231

 

 

 

 

 

0,9995

5

0,0656

0,1158

0,1552

0,2231

 

 

 

 

0,9997

6

0,0342

0,0704

0,1226

0,1646

0,2231

 

 

 

0,9998

7

0,0369

0,0762

0,1071

0,1344

0,1738

0,2231

 

 

0,9999

8

0,0311

0,0613

0,0943

0,1227

0,1463

0,1788

0,2231

 

0,9999

9

0,0279

0,0560

0,0841

0,1101

0,1332

0,1651

0,1856

0,2231

0,9999

Доступны наблюдению 10% выборки:

2

0,1054

 

 

 

 

 

 

 

0,9991

3

0,0396

0,1054

 

 

 

 

 

 

0,9997

4

0,0271

0,0579

0,1054

 

 

 

 

 

0,9999

5

0,0231

0,0503

0,0707

0,1054

 

 

 

 

0,9999

6

0,0241

0,0468

0,0652

0,0799

0,1054

 

 

 

1,0000

7

0,0180

0,0376

0,0523

0,0649

0,0824

0,1054

 

 

1,0000

8

0,0156

0,0304

0,0454

0,0584

0,0694

0,0843

0,1054

 

1,0000

9

0,0132

0,0266

0,0400

0,0523

0,0632

0,0779

0,0880

0,1054

1,0000

Доступны наблюдению 5% выборки:

2

0,0513

 

 

 

 

 

 

 

0,9998

3

0,0280

0,0513

 

 

 

 

 

 

0,9999

4

0,0162

0,0290

0,0513

 

 

 

 

 

1,0000

5

0,0108

0,0244

0,0345

0,0513

 

 

 

 

1,0000

6

0,0118

0,0228

0,0317

0,0389

0,0513

 

 

 

1,0000

7

0,0085

0,0179

0,0252

0,0313

0,0399

0,0513

 

 

1,0000

8

0,0079

0,0154

0,0224

0,0286

0,0340

0,0411

0,0513

 

1,0000

9

0,0065

0,0129

0,0196

0,0256

0,0309

0,0379

0,0429

0,0513

1,0000

 

Таблица 10.

Асимптотически оптимальное группирование наблюдаемой области справа при цензурировании слева для параметров распределений экспоненциального, Рэлея и масштабного параметра Вейбулла

k

A

Доступны наблюдению 50% выборки:

2

0,6931

 

 

 

 

 

 

 

0,4900

3

0,6931

2,2895

 

 

 

 

 

 

0,8203

4

0,6931

1,7722

3,5899

 

 

 

 

 

0,9069

5

0,6931

1,4681

2,4594

4,0684

 

 

 

 

0,9444

6

0,6931

1,3058

2,0665

3,0717

4,7206

 

 

 

0,9627

7

0,6931

1,1940

1,7910

2,5409

3,5576

5,1612

 

 

0,9733

8

0,6931

1,1359

1,6428

2,2527

2,9876

4,0477

5,6467

 

0,9799

9

0,6931

1,0754

1,5134

2,0258

2,6431

3,4202

4,4732

6,1480

0,9843

Доступны наблюдению 40% выборки:

2

0,9163

 

 

 

 

 

 

 

0,5832

3

0,9163

2,5108

 

 

 

 

 

 

0,8531

4

0,9163

2,0482

3,1974

 

 

 

 

 

0,9241

5

0,9163

1,7287

2,8724

4,4903

 

 

 

 

0,9540

6

0,9163

1,5346

2,3122

3,3683

4,9807

 

 

 

0,9695

7

0,9163

1,4490

2,0621

2,8736

3,9904

5,9297

 

 

0,9777

8

0,9163

1,3647

1,8877

2,5157

3,2907

4,3388

6,0731

 

0,9835

9

0,9163

1,2973

1,7333

2,2419

2,8531

3,6201

4,6549

6,2863

0.9872

Доступны наблюдению 30% выборки:

2

1,2040

 

 

 

 

 

 

 

0,6744

3

1,2040

2,8102

 

 

 

 

 

 

0,8852

4

1,2040

2,2122

3,8074

 

 

 

 

 

0,9415

5

1,2040

1,9801

3,0371

4,6433

 

 

 

 

0,9645

6

1,2040

1,8586

2,7050

3,8781

5,7241

 

 

 

0,9755

7

1,2040

1,7351

2,3713

3,2031

4,2953

6,0054

 

 

0,9827

8

1,2040

1,6348

2,1406

2,7479

3,4973

4,5119

6,0949

 

0,9872

9

1,2040

1,5884

2,0288

2,5438

3,1628

3,9388

4,9825

6,6065

0,9900

Доступны наблюдению 20% выборки:

2

1,6094

 

 

 

 

 

 

 

0,7640

3

1,6094

3,2052

 

 

 

 

 

 

0,9168

4

1,6094

2,5527

4,0551

 

 

 

 

 

0,9573

5

1,6094

2,3702

3,3916

4,9465

 

 

 

 

0,9743

6

1,6094

2,2474

3,0740

4,1902

5,9068

 

 

 

0,9825

7

1,6094

2,1365

2,7799

3,5935

4,6947

6,2622

 

 

0,9875

8

1,6094

2,0453

2,5554

3,1697

3,9425

4,9869

6,6489

 

0,9907

9

1,6094

1,9946

2,4359

2,9507

3,5661

4,3295

5,3401

6,9269

0,9927

Доступны наблюдению 10% выборки:

2

2,3026

 

 

 

 

 

 

 

0,8549

3

2,3026

3,9030

 

 

 

 

 

 

0,9489

4

2,3026

3,4216

5,2016

 

 

 

 

 

0,9736

5

2,3026

3,0606

4,1061

5,7826

 

 

 

 

0,9842

6

2,3026

2,9362

3,7419

4,8317

6,5212

 

 

 

0,9893

7

2,3026

2,8268

3,4606

4,2576

5,3345

7,0163

 

 

0,9923

8

2,3026

2,7403

3,2527

3,8684

4,6373

5,6656

7,2511

 

0,9943

9

2,3026

2,6756

3,1019

3,5995

4,1983

4,9508

5,9689

7,5623

0,9955

Доступны наблюдению 5% выборки:

2

2,9957

 

 

 

 

 

 

 

0,9043

3

2,9957

4,7649

 

 

 

 

 

 

0,9658

4

2,9957

4,0105

5,6138

 

 

 

 

 

0,9828

5

2,9957

3,8010

4,8728

6,5195

 

 

 

 

0,9895

6

2,9957

3,6452

4,4619

5,5364

7,1709

 

 

 

0,9929

7

2,9957

3,4975

4,1010

4,8599

5,8867

7,5010

 

 

0,9950

8

2,9957

3,4223

3,9204

4,5201

5,2754

6,2944

7,8971

 

0,9962

9

2,9957

3,3695

3,7966

4,2949

4,8931

5,6436

6,6566

8,2499

0,9971

 

            В ходе исследований были получены решения задачи АОГ наблюдае­мой области (левой части при цензурировании справа и правой части при цензурировании слева) для ряда законов распре­деления. Анализ полученных таблиц АОГ позволяет отметить, что с ростом степени цензурирования наблюдаемые значения случай­ной величины несут всё меньшую часть информации, из сохранившейся в цензу­рированной вы­борке, и всё большая её часть содержится в квантили, опре­деляющей об­ласть цензурирования (в количестве наблюдений в этой области). Этим, в частности, определяется доста­точно высокая точность оценивания пара­метра экспоненциального закона с использованием этой единственной квантили.

Применение АОГ в си­ту­а­ции, когда моменты отказов фик­сироваться не могут, позволяет получать ОМП параметров по группи­рованным данным, практически не усту­паю­щие по асимптотическим свой­ствам оценкам по цензурированным. Конечно, для того, чтобы использовать решение задачи АОГ надо знать значения параметров, которые-то как раз и требуется оценить. В этом случае возможен следующий выход. В задачах контроля качества или испытаниях надежности область значений параметров обычно бывает известна по результатам предыдущих экспериментов. Тогда можно воспользоваться этой информацией для выбора  по прогнозируемым значениям . При не слишком больших ошибках прогноза выигрыш все равно будет ощутим [10].

 

Заключение

 

            Подводя итог всему вышесказанному, зафиксируем основные факты.

            В аналитически простом виде выражения для оценок параметров по цензурированным выборкам получаются лишь в некоторых частных слу­чаях. Более перспективно определение оценок численными методами, для чего, вообще говоря, нет принципиальных трудностей.

            При условии, что соответствующая параметрическая модель хорошо описывает закон распределения наблюдаемой случайной величины, можно достаточно точно оценивать параметры закона даже при очень сильно цен­зурированных выборках.

            Идентифицировать параметрическую модель по малой выборке чрез­вычайно сложно, так как можно указать (подобрать) множество моделей, одинаково хорошо описывающих выборочные данные с позиций раз­лич­ных критериев согласия. Особенности генеральной совокупности более четко проявляются с ростом объема выборки. Поэтому очевидно, что при больших объемах выборки можно достаточно точно находить оценки при большей степени цензурирования. Для иллюстрации этого на рис. 7 при­ведены результаты оценивания параметров распределения Вейбулла по цензуриро­ван­ной слева выборке объемом в 50 наблюдений, в которой были до­ступны наблюдению 20 последних значений. На рисунке отражены ре­зультаты проверки согласия полученного закона с полной выборкой. В данном слу­чае мы видим существенное различие эмпирической и теоре­тической функ­ций распределения в ненаблюдаемой части (при значениях ординат от 0 до 0.6). А на рис. 8 для выборки объемом в 200 наблюдений и большей степени цензурирования (наблюдалось 40 правых значений) получены уже очень хорошие оценки параметров, о чем говорят результаты проверки согласия найденного закона с полной выборкой.

 

Рис. 7. Результаты проверки согласия полной выборки объемом 50

наблюдений с распределением Вейбулла, параметры которого определялись

по цензурированной слева выборке и степенью цензурирования 60%

(наблюдалось 20 правых выборочных значений из 50)

 

Рис. 8. Результаты проверки согласия полной выборки объемом 200

наблюдений с распределением Вейбулла, параметры которого определялись

по цензурированной слева выборке и степенью цензурирования 80%

(наблюдалось 40 правых выборочных значений из 200)

 

            Цензурирование справа и слева для несимметричных законов может быть связано с различными потерями в количестве информации Фишера. Чем больше потери, тем больше асимптотическая дисперсия вычисляемых оценок. Величина потерь адекватно отражается на точности оценивания параметров.

            При сильном цензурировании мы оцениваем параметры закона по ле­вому или правому “хвосту” эмпирической функции распределения. И в этом случае на оценках в большей степени могут сказываться имеющиеся в выборке случайные отклонения от предполагаемого закона. Особенно рез­ко это будет проявляться при малых объемах выборок. Поэтому есте­с­твенно, что более предпочтительным является использование робастных оценок, в том числе ОМП по группированным наблюдениям, L-оценок и MD-оценок.

            При проверке сложных гипотез следует помнить о том, что непа­ра­метрические критерии теряют свойство “свободы от распределения” [17]. В приводимых примерах (рис. 7-8), проверяя гипотезу о согласии закона, по­лученного по сильно цензурированной выборке, с полной выборкой (с той же самой, которую цензурировали), мы предполагали, что есть осно­вание рассмат­ри­вать проверяемые гипотезы как простые. Ситуация близка к той, когда по одной половине выборки оценивают параметры, а по другой - проверяют гипотезу о согласии. По крайней мере, ошибки не должны быть велики.

            В данной работе мы не касались вопросов проверки гипотез о со­гла­сии по сильно неполным выборкам. Нет принципиальных про­блем в ис­пользовании критериев типа  Пирсона, хотя большое количество на­блюдений, попавших в крайний интервал (интервалы), отразится на распре­делении статистики [18]. Но проблемы есть в при­ме­не­нии непараметри­чес­ких критериев типа Колмогорова, Смирнова и  Мизеса. В случае про­стых гипотез можно воспользоваться подходом, связанным с определением оценок сверху и снизу для статистик исполь­зуемых критериев и рас­смат­ри­ваемым нами в [19-21]. В случае сложных - вопрос остается от­крытым. Од­нако стремительный прогресс компьютерной техники позво­ляет распро­странить этот подход и на сложные гипотезы, используя ана­логично [22] для идентификации законов распределения статистик (их оценок сверху и снизу) методы статистического моделирования, причем непосредственно в процессе проверки гипотез по конкретной выборке.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.      Тихов М.С. Оценивание показателей качества по неполным выборкам // Надеж­ность и контроль качества. 1996. № 11. С.16-24.

2.      Куллдорф Г. Введение в теорию оценивания по группированным и час­тично группированным выборкам. - М.: Наука, 1966. - 176 с.

3.      Кудлаев Э.М. Об оценивании параметров распределения по отрезкам вари­аци­он­ного ряда // Теория вероятностей и её применения. 1973. Т.18. № 3. С.655-662.

4.      Агзамов С.К., Огульник Ю.М. Определение интервальных оценок и точности показателей долговечности по многократно усеченным выбор­кам // Надежность и контроль качества, 1976. № 9. С.49-54.

5.      Баталова З.Г., Благовещенский Ю.Н. О точности оценок ресурсов эле­ментов конструкций методом максимума правдоподобия при случай­ном усечении длительности наблюдений // Надежность и контроль качества, 1979. № 9. С.12-20.

6.      Благовещенский Ю.Н. Анализ оценки максимального правдоподобия по случайно цензурированной выборке  с малой долей отказов на примере экспоненциального распределения // Заводская лаборатория. 1982. Т. 48. № 3. С.50-52.

7.      Скрипник В.М., Назин А.Е. Оценка надежности технических систем по цензурированным выборкам. – Минск: Наука и техника, 1981. – 144 с.

8.      Скрипник В.М., Назин А.Е., Приходько Ю.Г. Анализ надежности технических систем по цензурированным выборкам. – М.: Радио и связь, 1988. – 183 с.

9.      Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений слу­чай­ных величин: Программная система. - Новоси­бирск: Изд-во НГТУ, 1995. - 125 с.

10.  Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное груп­пи­рование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: В 2 ч. - Новоси­бирск: Изд-во НГТУ, 1993. - 346 с.

11.  Лемешко Б.Ю. Робастные методы оценивания и отбраковка ано­маль­ных изме­рений // Заводская лаборатория. 1997. Т.63. № 5. С.43-49.

12.  Лемешко Б.Ю. Группирование наблюдений как способ полу­чения ро­баст­ных оценок // Надежность и контроль качества. 1997. № 5. С.26-35.

13.  Шуленин В.П. Введение в робастную статистику. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. - 227 с.

14.  РД 50-690-89. Надежность в технике. Методы оценки показателей надеж­ности по экспериментальным данным. - М.: Изд-во стандартов, 1990.

15.  Лемешко Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблю­дений в критериях согласия // Заводская лаборатория, 1998. Т. 64. №1. С.56-64.

16.  Лемешко Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблю­де­ний - это обеспечение максимальной мощности критериев // Надеж­ность и контроль качества. 1997. № 8. С.3-14.

17.  Орлов А.И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат // Заводская лаборатория. 1985. Т. 51. № 1. С.60-62.

18.  Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О зависимости предельных распреде­лений ста­тистик  Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. № 5. С.56-63.

19.  Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Статистический анализ одномерных наблюдений по частично группированным данным // Изв. вузов. Фи­зика. - Томск, 1995. № 9. С.39-45.

20.  Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Статистический анализ наблюдений, имеющих интервальное представление // Сб. научных тру­дов НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. № 1. С.3-12.

21.  Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О решении задач статистического ана­­лиза интер­вальных наблюдений // Вычислительные технологии. 1997. Т.2. № 1. С.28-36.

22.  Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О распределениях статистик непара­мет­рических критериев согласия при оценивании по выборкам пара­метров наблюдаемых законов // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. № 3. С.61-72.

 

 

[Содержание]