См. также: Прикладная математическая статистика (материалы к семинарам)

 

Надежность и контроль качества. - 1997. - № 11. - С. 3-17.

УДК 519.2

Прикладные аспекты использования критериев согласия в случае проверки сложных гипотез

 

Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов

 

            При исследовании надежности и контроля качества часто воз­никает необходимость идентификации закона распределения вероят­ностей,  наибо­лее адекватно описывающего наблюдаемую случайную величину. В этой связи обычно последовательно решают две задачи: сначала оценивают па­раметры закона распределения, выбор которого определяется некото­рыми теоретическими или практическими соображениями, а затем с ис­поль­зова­нием какого-либо критерия (или критериев) согласия проверяется гипотеза о принадлежности наблюдаемой выборки найденному закону. При этом наиболее часто проверка согласия осуществляется по той же самой вы­борке, по которой вычислялись оценки параметров. Именно в этот момент совершается большинство непреднамеренных или предна­ме­ренных ошибок проводимого статистического анализа.

            В рассматриваемой ситуации при проверке согласия нулевая гипотеза имеет вид  , где  - плотность распределения на­блю­дае­мого зако­на,  - истинное значение параметра,  - оценка пара­метра, вы­чис­ленная по вы­борке. С каждым критерием согласия связана определенная статистика , вычисляемая по выборке, для которой должен быть известен предельный закон распределения при истинной нулевой ги­потезе .  Если вероятность , вычисленная в соответ­ствии с этим предельным законом, где  - полученное по выборке значение статистики, не меньше задаваемого уровня значимости , то ги­потеза  принимается. Проблема связана с тем, что предельные рас­преде­ления статистик в случаях проверки простой и сложной гипотез обычно кардинально отличаются. Например, предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия типа Колмогорова, Смир­нова или  и  Мизеса при оценивании по дан­ной выборке параметров зависят как от вида наблюдаемого закона, так и от количества, и типа оце­ниваемых параметров, а иногда и от конкретного значения па­раметра.

            В критериях согласия  Пирсона или отношения правдо­подобия, статистики

и [1]

,

где  - объем выборки,  – количество наблюдений, попавших в интервал,  - вероятность попадания наблюдения в -й интервал, в случае простой гипотезы подчиняются распределению  (с числом степеней свободы , где  - число интервалов, на которые разбивается выборка). При проверке сложной гипотезы и оценивании по выборке параметров изменение закона распределения статистик учитывается уменьшением числа степе­ней свободы предельного распреде­ления на число  оцененных по выборке параметров () [1]. Последнее справедливо только в случае, если оценки па­раметров вычисляются по группированной выборке. Если же находятся, например, оценки макси­мального правдоподобия по негруп­пированным данным, то предельные распределения этих статистик лежат между  и  и зависят от вида оцениваемого параметра, и даже способа группи­рования [2]. Поэтому надо учитывать, что при использо­вании в такой си­туации в качестве предель­ного закона  вычисляемые вероятности  обычно оказыва­ются заниженными (увеличивается вероят­ность ошибки первого рода: отклонить верную гипотезу ).

            Проведенное нами сравнительное исследование влияния способов группирования (рав­но­вероятного и асимпто­тически оптимального, при ко­тором миними­зируются потери в количестве информации Фишера [3,4]) на предельные законы статистик этих критериев показало, что если по наблю­даемой выборке не оценивались параметры закона, то распределения ста­тистик критериев отношения правдопо­добия и  Пир­сона при спра­ведли­вой ги­по­тезе  достаточно хорошо со­гласуются с  как при равнове­роятном, так и при асимп­то­тически опти­мальном группировании. Разли­чия между распределениями статистик при равновероятном и асимптотиче­ски опти­мальном группи­ровании заметны, но не значимы. При этом рас­пределения статистик при равновероятном группировании в целом оказы­ваются ближе к  распре­делению.

            При проверке сложных гипотез, когда оценки параметров опре­де­ля­ются по негруппи­рованным наблюдениям, предельные распре­деления ста­тистик критериев отношения правдопо­добия и  Пир­сона существенно зависят от способа группирования (и вида закона), особенно при малом числе интервалов. При этом распределения статистик зависят не только от количества оцененных по выборке параметров, но и от того, какой пара­метр оценивался. Оце­нивание параметра сдвига приводит к бо­лее зна­чи­тельному изменению распределений статистик, чем оце­ни­ва­ние мас­штаб­ного пара­метра. В целом, при малом числе интервалов и оценивании  па­раметров число степеней свободы пре­дельного распределения умень­шается на “число степеней свободы” меньшее . При этом предельный за­кон рас­пределения статистики при асимп­тотически оптимальном груп­пи­ро­ва­нии ближе к теоретическому -распределению, чем при равно­веро­ятном группи­ровании. На рис. 1 приведены результаты моделирования распреде­лений статистики  Пир­сона при 7 интервалах и оценивании двух пара­метров нормального распределения при спра­вед­ливой гипотезе . На ри­сунке построены функции распределения  при 4, 5 и 6 степенях свободы и эмпирические функции распределения ста­тис­тики  Пир­сона при асимп­тотически оптимальном (“1”) и равновероятном (“2”) группирова­нии.

 

Рис. 1. Распределения статистики  Пир­сона при 7 интервалах и оценивании двух параметров нормального распределения

 

            Расчеты показали, что при использовании для вычис­ления  функции распределения  при асимптотически оптимальном груп­пи­ровании и малом числе интервалов () при малых (именно при малых вероятностях принимается решение отклонить гипотезу  или нет) погрешность имеет величины, которые не существенны для прак­тиче­ских задач. То есть в этом случае, используя , мы не совершаем боль­шой ошибки.

            С ростом числа интервалов  (при соответствующем объеме вы­бор­ки) отличие предельных распределений статистик от распределений  и при асимптотически оптимальном, и при равновероятном группировании становится несущественным. При этом разность между функцией рас­пре­де­ления  и действительными функциями распределения ста­тистик от­но­шения правдопо­добия и  Пир­сона в случае асимптотически опти­мального группирования убывает существенно быстрее.

            Распределения данных статистик при спра­ведливой конкурирующей гипотезе  всегда (и с оцениванием параметров и без оценивания) сильно зависят от варианта группирования. Разность при близ­ких альтернативах и асимптотически оптимальном группировании макси­мальна и, следовательно, максимальна мощность критерия.

            Непарамет­ри­ческие критерии типа Колмогорова, Смирнова,  и  Ми­зеса при оценивании по выборке параметров теряют свойство “сво­боды от распределения”, и пре­дельные распределения статис­тик этих кри­териев стано­вятся зависящими как от числа оце­ненных пара­метров, так и от вида иссле­дуемого закона рас­пре­деления . Хотя эта про­блема приобрела широкую извест­ность с выходом работы [5], ещё достаточно часто она не учитывается при использовании этих критериев на практике, что можно объяснить лишь недостаточной освещенностью этих вопросов в учебной и справочной литературе. О недопустимости пренебрежения фак­том зависи­мости распределений статистик непарамет­рических крите­риев от оценивания параметров предупреждается в работах [6,7], где подчерки­ва­ется, что это приводит к необо­снованному принятию нулевой гипотезы из-за сильно завы­шенных значений ве­роятностей “со­гласия” вида .

            При большом объеме выборки можно, опираясь на ре­зультаты, полу­ченные в [8], оценивать параметры распределения по одной половине вы­борки, а проверять согласие по другой половине. В такой си­туации приме­нение предельных распределений рассматриваемых классических кри­териев вполне обосновано. Но объемы выборок, зачастую имеющиеся в распоря­жении иссле­дователя, не настолько велики, чтобы можно было смириться еще и с разбиением ее на две отдельные части.

            Для случая нормального закона предельные распределения статисти­ки критерия  Ми­зеса при оце­нивании одного из двух или обоих пара­метров подробно исследованы и табулированы в [9].

            Теоре­тически решить задачу определения пре­дельных распределений непараметрических статистик для множества зако­нов, используемых для описания наблюдаемых величин, не реально. Поэтому большинство су­ществующих таблиц про­цен­тных точек для предельных распределений по­лучены методом статис­тичес­кого моде­ли­рования [10-13].

            В работах [14-17] для статистик типа Колмогорова-Смирнова полу­чены фор­мулы для при­бли­жен­ного вычисления вероятностей вида . С по­мощью этих формул, учитывающих отли­чие пре­дельных рас­пре­делений не­па­рамет­ри­ческих статистик при оцени­ва­нии па­ра­метров законов от клас­си­ческих, вычис­ляют вероятности вида  в пакете STADIA [18].

            Нами в результате моделирования предельных зако­нов рас­преде­ления статистик непара­метрических крите­риев найдены такие за­коны распре­де­ления вероятностей, которые с прак­­ти­ческой точки зрения хорошо аппрок­си­ми­руют предельные распре­деления статистик непарамет­рических кри­те­риев в тех случаях, когда по выборке оцениваются пара­метры [19].

            Полученные результаты могут с успехом при­меняться при решении практических задач проверки гипотез о согласии с исполь­зо­ванием непа­ра­метрических критериев после вычисления оценок параметров распреде­ле­ния по той же выборке.

            В данной работе статистики всех непараметрических критериев рас­сматриваются в том виде, как они даны в [20]. Статистика Колмогорова определяется вы­ра­жением

,

статистика Смирнова

,

где  

 - объем выборки,  - упорядоченные по возрастанию вы­бо­роч­ные значения,  - функция распределения, согласие с которой про­веряется.

            Распределение величины , если по выборке не оце­нивались па­раметры, в пределе подчиняется закону Колмо­горова с функцией распре­де­ления  [20]. В аналогичной ситуации статистика Смирнова  подчи­няется в пре­деле распределению  с числом степеней свободы, рав­ным 2 [20].

            Статистики Мизеса имеют вид

(статистика Крамера-Мизеса-Смирнова) и

(статистика Андерсона-Дарлинга). Для этих ста­тистик также известны пре­дельные распределения веро­ят­ностей [20]

,      .

            Результаты моделирования и последующего анализа с исполь­зова­нием программной системы [21] показали, что законы рас­пределе­ния ста­тистик непараметрических кри­териев достаточно хорошо описываются од­ним из двух законов распре­деления: логарифмически нормальным или гамма-распре­делением. Исследованы рас­пределения непараметрических ста­тистик, когда на­блю­даемые случайные величины распре­делены в соот­вет­ствии с зако­нами: экспоненци­аль­ным, с плотностью ; полу­нор­маль­ным - ; Рэлея - ; Мак­с­велла - ; Лапласа - ; нормаль­ным - ; логнормаль­ным - ; Ко­ши - ; наибольшего и наименьшего значения -  и ; Вейбулла-Гнеденко - ; логисти­че­ским - .

            В табл. 1 приведены указания на конкретные распределения, которые лучше всего описывают эмпирические распределения статистики критерия Колмогорова (согласуются).

 

Таблица 1.

Предельные распределения статистики Колмогорова

п/п

Распределение случайной величины

Оценивался только масштабный параметр

Оценивался только параметр сдвига

Оценивалось два параметра

1.     

Экспоненци­альное

lnN(-0.3477,0.2638)

 

 

2.     

Полунор­мальное

g(3.4090,8.2385,0.3443)

 

 

3.     

Рэлея

lnN(-0.3366,0.2579)

 

 

4.     

Максвелла

g(3.4809,9.0801,0.3417)

 

 

5.     

Лапласа

g(3.2121,6.5137,0.3400)

lnN(-0.3721,0.2426)

lnN(-0.4679,0.2329)

6.     

Нормальное

g(3.6448,7.0208,0.3164)

lnN(-0.4349,0.2337)

lnN(-0.4849,0.2254)

7.     

Логнормаль­ное

g(3.7326,7.4146,0.3265)

g(3.0857,8.4464,0.3532)

g(3.7311,10.045,0.3062)

8.     

Коши

g(3.1388,6.7500,0.3261)

lnN(-0.3691,0.2542)

g(4.2049,13.595,0.2983)

9.     

Логисти­че­ское

g(3.3283,6.6563,0.3280)

lnN(-0.4681,0.2248)

lnN(-0.5684,0.2111)

10.  

Экстремальных значений (min и max) и Вейбулла

lnN(-0.2243,0.3028)

lnN(-0.3505,0.2652)**

lnN(-0.4996,0.2221)

** - оценивался параметр формы распределения Вейбулла.

 

            В этой и последующих таблицах  со­ответствует логариф­ми­чески нормаль­ному рас­пре­делению с функ­цией плотности

,

  - гамма-распределению с функцией плотности

 .

В случае если согласие с каким-то законом не очень хорошее (гипотеза о со­гласии принимается с уровнем значимости ), то соот­вет­ствующий закон указан на сером фоне.

            В табл. 2-4 приведены соответственно законы распределения статис­тик Смирнова,  и  Ми­зеса при оценивании различных параметров наблюдаемого закона.

 

Таблица 2.

Предельные распределения статистики Смирнова

п/п

Распределение случайной величины

Оценивался только масштабный параметр

Оценивался только параметр сдвига

Оценивалось два параметра

1.     

Экспоненци­альное

lnN(0.1585,0.7009)

 

 

2.     

Полунор­мальное

lnN(0.1289,0.7900)

 

 

3.     

Рэлея

lnN(0.1936,0.7073)

 

 

4.     

Максвелла

lnN(0.2221,0.6794)

 

 

5.     

Лапласа

g(0.8146,0.4654,0.0006)

g(1.7664,1.2256,0.0207)

g(1.8235,1.5842,0.0058)

6.     

Нормальное

g(0.8088,0.4549,0.0006)

lnN(0.2471,0.5321)

lnN(0.1299,0.5331)

7.     

Логнормаль­ное

g(0.8391,0.4641,0.0006)

lnN(0.4252,0.6481)

lnN(0.1947,0.6783)

8.     

Коши

g(0.8570,0.5348,0.0006)

g(1.4215,0.9846,0.0006)

g(1.2931,1.2542,0.0006)

9.     

Логисти­че­ское

g(0.8164,0.4709,0.0)

lnN(0.2684,0.4856)

lnN(0.0569,0.4491)

10.  

Экстремальных значений (min и max) и Вейбулла

g(0.8372,0.4637,0.0006)

lnN(0.2040,0.7135)**

lnN(0.1151,0.5065)

** - оценивался параметр формы распределения Вейбулла.

 

Таблица 3.

Предельные распределения статистики Мизеса

п/п

Распределение случайной величины

Оценивался только масштабный параметр

Оценивался только параметр сдвига

Оценивалось два параметра

1.     

Экспоненци­альное

lnN(-2.6028,0.6453)

 

 

2.     

Полунор­мальное

lnN(-2.5046,0.6814)

 

 

3.     

Рэлея

lnN(-2.5743,0.6345)

 

 

4.     

Максвелла

lnN(-2.6147,0.6361)

 

 

5.     

Лапласа

lnN(-2.2328,0.8302)

lnN(-2.6890,0.5802)

lnN(-2.9386,0.5500)

6.     

Нормальное

lnN(-2.2290,0.8284)

lnN(-2.8102,0.5625)

lnN(-2.9685,0.5187)

7.     

Логнормаль­ное

lnN(-2.2334,0.7951)

lnN(-2.6226,0.6972)

lnN(-2.8233,0.6673)

8.     

Коши

lnN(-2.3228,0.8554)

lnN(-2.6269,0.6202)

lnN(-2.9746,0.6493)

9.     

Логисти­че­ское

lnN(-2.2460,0.8329)

lnN(-2.8755,0.5612)

lnN(-3.1713,0.4841)

10.  

Экстремальных значений (min и max) и Вейбулла

lnN(-2.2236,0.8369)

lnN(-2.6077,0.6650)**

lnN(-3.0231,0.5191)

** - оценивался параметр формы распределения Вейбулла.

 

Таблица 4.

Предельные распределения статистики Мизеса

п/п

Распределение случайной величины

Оценивался только масштабный параметр

Оценивался только параметр сдвига

Оценивалось два параметра

1.     

Экспоненци­альное

lnN(-0.7055,0.5690)

 

 

2.     

Полунор­мальное

lnN(-0.6931,0.5900)

 

 

3.     

Рэлея

lnN(-0.6850,0.5541)

 

 

4.     

Максвелла

lnN(-0.7051,0.5658)

 

 

5.     

Лапласа

lnN(-0.4107,0.7170)

lnN(-0.6654,0.5345)

lnN(-0.9378,0.4999)

6.     

Нормальное

lnN(-0.4121,0.7206)

lnN(-0.8363,0.5096)

lnN(-1.0840,0.4509)

7.     

Логнормаль­ное

lnN(-0.4092,0.6938)

lnN(-0.6827,0.6146)

lnN(-0.9322,0.5819)

8.     

Коши

lnN(-0.4326,0.7164)

lnN(-0.6102,0.5737)

lnN(-0.8815,0.5905)

9.     

Логисти­че­ское

lnN(-0.4243,0.7224)

lnN(-0.8465,0.5109)

lnN(-1.1685,0.4239)

10.  

Экстремальных значений (min и max) и Вейбулла

lnN(-0.4085,0.7180)

lnN(-0.6911,0.5736)

lnN(-1.0947,0.4457)

** - оценивался параметр формы распределения Вейбулла.

 

            Зависимость распределений непараметрических статистик от вида за­кона, параметры которого оценивались по наблюдаемой вы­борке, можно наглядно проследить на рис. 2-5, где соответственно рассматривались рас­пределения статистик , , , . На этих рисунках представ­лены эмпирические распределения ста­тис­тик при оценивании по выборке всех параметров распределения: нормального (помечено символом “1”), ло­гис­тического (“2”), Лапласа (“3”), Коши (“4”). Символом “0” на рисунках отмечено пре­дельное распределение соответствующей классичес­кой статис­тики (ког­да по выборке не оцениваются параметры).

 

 

Рис. 2. Распределения ста­тис­тики Колмогорова  при оценивании по выборке всех параметров распределения: 1 - нормального; 2 - логис­тичес­кого; 3 - Лапласа; 4 - Коши; 0 - функция распределения Колмогорова .

 

Рис. 3. Распределения ста­тис­тики Смирнова  при оценивании по выборке всех параметров распределения: 1 - нормального; 2 - логис­тичес­кого; 3 - Лапласа; 4 - Коши; 0 - функция распределения .

 

Рис. 4. Распределения ста­тис­тики Мизеса  при оценивании по выборке всех параметров распределения: 1 - нормального; 2 - логис­тичес­кого; 3 - Лапласа; 4 - Коши; 0 - функция распределения .

 

            В случае оценивания одного из параметров наблюдаемого закона (нормаль­ного, логис­тичес­кого, Лапласа, Коши) распределения статистик отличны от тех, что изображены на рис. 1-4. Предельные распределения статистик для этих законов случайных величин зависят только от вида за­кона, типа и числа  оцениваемых параметров. Но возможна и менее благо­приятная ситуация. Например, предельные распределения статистик всех рассматриваемых не­па­раметрических критериев при проверке согласия на­блюдаемой выборки с гамма-распределением зависят от значения его пара­метра формы . На рис. 6 представлены полученные в результате модели­рования эмпирические функции распределения статистики Колмо­горова при одновременном оценивании по выборке двух параметров гамма-рас­пределения в зави­си­мости от значения параметра формы . Отметим, что с его ростом предельные распределения статистик стремятся к предельным распре­де­лениям для нормального закона. Последними практически можно поль­зоваться при >5.

 

Рис. 5. Распределения ста­тис­тики Мизеса  при оценивании по выборке всех параметров распределения: 1 - нормального; 2 - логис­тичес­кого; 3 - Лапласа; 4 - Коши; 0 - функция распределения .

 

Рис. 6. Эмпирические функции распределения статистики  Колмо­горова при оценивании одновременно двух параметров гамма-рапределения и различных значениях параметра формы : 0 - функция распределения Колмогорова; 1 - =0.5; 2 - =1.0; 3 - =2.0; 4 - =5.0; 5 - =10.0.

 

            В качестве моделей законов распределения реальных случайных вели­чин могут использоваться и усеченные законы, и смеси законов вида , где  - параметр смеси,  - па­ра­метры законов, входящих в смесь, в общем случае векторные. Если по вы­борке будут оцениваться все или часть параметров, определяющих смесь законов, то это отразится на предельном распределении статистики исполь­зуемого критерия. На рис. 7 для иллюстрации приведены смоде­лированные распределения ста­тистики Колмогорова при оценивании 2-х параметров нормального рас­пределения (“1”) и при оценивании всех 5-ти параметров смеси двух нормальных распределений (“2”).

 

Рис. 7. Распределения ста­тис­тики Колмогорова  при оценивании по выборке всех параметров распределения: 1 - нормального; 2 - смеси двух нормальных распределений (5 параметров); 0 - функция распределения Колмогорова .

 

            Таким образом, при проверке сложных гипотез с использованием критериев отношения правдопо­добия и  Пир­сона и оценивании пара­метров по негруппи­рованным наблюдениям применение -распре­деления для вычисления вероятностей вида  при асимп­тотически оптимальном груп­пи­ро­ва­нии приводит к достаточно малым ошибкам, которыми при практическом использовании критериев можно пренебречь. А с ростом числа интервалов () эти ошибки оказываются малыми как при асимптотически оптимальном, так и при равно­веро­ятном группи­ровании. В то же время мощность критериев при асимптотически опти­мальном группировании и близких альтернативах максимальна [4,5].

            Применение законов, аппроксимирующих предельные распределения статистик непараметрических критериев и представленных в табл. 1-4, для вычисления вероятностей  позво­лит делать более надежные статистические выводы, избавит от ошибок при прак­ти­ческом исполь­зо­ва­нии непараметрических критериев согласия. В частности, избавит от наи­более часто совершаемых ошибок, связанных с необоснованным при­нятием неверной нулевой гипотезы.

 

1.       Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973. - 900 с.

2.       Б.Ю.Лемешко, С.Н.Постовалов. О влиянии способа группирования дан­ных на распределения статистик  Пирсона и отношения правдо­по­до­бия // Мат. международной НТК “Информатика и проблемы телеком­му­никаций”. - Новосибирск, 1997. - С.120-123.

3.    Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное группи­рование, оцен­ка параметров и планирование регрессионных экспери­ментов. В 2-х ч. / Новосиб. гос. техн. ун-т. - Ново­сибирск, 1993. - 347 с.

4.       Лемешко Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблю­де­ний - это обеспечение максимальной мощности критериев // Надеж­ность и контроль качества, 1997. № 5. С. (в печати).

5.       Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness of fit based on distance methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. - P.189-211.

6.       Орлов А.И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат // Заводская лаборатория, 1985. Т. 51. №1. - С. 60-62.

7.       Бондарев Б.В.  О проверке сложных статистических гипотез // Заводская лаборатория. 1986. Т. 52. № 10. - С. 62-63.

8.       Durbin J. Kolmogorov-Smirnov tests when parameters are estimated // Lect. Notes Math., 1976. V.566. - P.33-44.

9.       Мартынов Г.В. Критерии омега-квадрат. - М.: Наука, 1978. - 80 с.

10.   Pearson E.S., Hartley H.O. Biometrika tables for Statisticians. Vol. 2. - Cambridge: University Press. 1972. - 634 p.

11.   Stephens M.A. Use of Kolmogorov - Smirnov, Cramer - von Mises and related statistics - without extensive tables // J. R. Stat. Soc., 1970. B.32. - P.115-122.

12.   Stephens M.A. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons // J. Am. Statist. Assoc., 1974. V.69. - P.730-737.

13.   Chandra M., Singpurwalla N.D., Stephens M.A. Statistics for Test of Fit for the Extreme-Value and Weibull Distribution // J. Am. Statist. Assoc., 1981. V.76. - P.375.

14.   Тюрин Ю.Н. О предельном распределении статистик Колмогорова-Смирнова для сложной гипотезы / Известия АН СССР. Сер. Матем. 1984. Т. 48. № 6. - С. 1314-1343.

15.   Тюрин Ю.Н., Саввушкина Н.Е. Критерий согласия для распределения Вейбулла-Гнеденко / Известия АН СССР. Сер. Техн. ки­бернетика. 1984. № 3. - С. 109-112.

16.   Тюрин Ю.Н. Исследования по непараметрической статистике (непара­метрические методы и линейная модель). Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук. - М.: МГУ, 1985. - 33 с.

17.   Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. - М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995. - 384 с.

18.   Саввушкина Н.Е. Критерий Колмогорова-Смирнова для логисти­чес­кого и гамма-распределения // Сб. тр. / ВНИИ систем. исслед. - 1990. № 8. - С. 50-56.

19.   Б.Ю.Лемешко, С.Н.Постовалов. О распределениях статистик непара­мет­рических критериев при потере свойства “свободы от распределения” // Мат. международной НТК “Информатика и проблемы телеком­му­ника­ций”. - Новосибирск, 1997. - С. 117-120.

20.   Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416 с.

21.   Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений слу­чай­ных величин: Программная система. - Новоси­бирск: Изд-во НГТУ. - 1995. - 125 с.

 

 

[Содержание]