См. также: Прикладная математическая статистика (материалы к семинарам)

 

Измерительная техника. 2002. - № 6. - С. 5-11.

УДК 519.2

 

ОБ ОШИБКАХ И НЕВЕРНЫХ ДЕЙСТВИЯХ, СОВЕРШАЕМЫХ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ ТИПА [1]

 

Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В.

 

Проверка статистических гипотез о согласии эмпирических дан­ных с теоретическим законом распределения с применением критериев согласия типа  обусловлена рядом условий, которые обеспечивают корректное решение задачи. К сожалению, не в каждом источнике, кото­рый используется в качестве руководства исследователем, находят отра­жение эти условия. Вследствие этого, не смотря на кажущуюся простоту, практика использования критериев согласия типа  изобилует приме­рами его некорректного или неэффективного применения, особенно при проверке сложных гипотез.

Анализ примеров “неудачного” применения критериев типа  по­зволяет выделить две группы причин, которые могут приводить к невер­ным статистическим выводам. Во-первых, это часто совершаемые прин­ципиальные ошибки, при которых использование в качестве предельного -распределения оказывается неправомерным. Во-вторых, действия, использующие возможности критерия не наилучшим образом. В первом случае возрастает вероятность ошибки первого рода  (отклонить вер­ную проверяемую гипотезу), во втором – вероятность ошибки второго рода  (принять проверяемую гипотезу при справедливости альтерна­тивы).

            При использовании критериев согласия возможна проверка про­стых ги­потез вида : , где  – функция распре­деления веро­ятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой вы­борки неза­виси­мых одинаково распределенных величин , а  – известное значение параметра (скалярного или векторного), и слож­ных гипотез : , где  – пространство пара­метров. В процессе про­верки сложной гипотезы оценка параметра  вы­числяется по этой же самой выборке.

            Процедура проверки гипотез с помощью критериев типа  преду­сматривает разбиение области определения случайной величины на  интервалов граничными точками

.

            Статистика  Пирсона вычисляется в соответствии с соотноше­нием

,                                      (1)

где  – количество наблюдений, попавших в -й интервал,  – вероятность попадания наблюдения в -й интер­вал, , . При справед­ливой простой гипотезе  пре­дельное распределение статис­тики  есть -распределение с числом сте­пеней свободы . Если по выборке оценивалось  пара­метров за­кона в результате мини­мизации ста­тистики , статистика подчиняется -распределению с  степенями свободы. При справедливости некоторой альтернативной гипотезы  пре­дельное рас­пределение статистики  пред­ставляет собой нецентральное -распределение с тем же числом степеней свободы и параметром не­цен­тральности

,                                              (2)

где  и  соответствует альтер­нативе.

Первоначально предполагалось, что в случае проверки сложных гипотез и оценивании по выборке пара­метров наблю­даемого закона ис­пользо­вание в качестве пре­дельных -распре­делений справедливо лишь при опре­делении оценок минимизацией статистики . Позднее было доказано, что статистика  подчиняется -распределению и в том случае, если используются оценки максимального правдоподобия (ОМП) по группирован­ным наблюдениям [1-3].

Наши исследования методами статистического моделиро­вания распределений данной статистики при проверке сложных гипотез и ис­пользовании ОМП по группированным наблюдениям (при конечных объемах выборок) также подтвердили хорошее согласие получаемых эм­пирических распределений статистики с -распределениями. Кроме того, наши исследования показали, что есть все основания использовать -распределения в качестве предельных распределений статистики  и в том случае, если параметры сдвига и масштаба наблюдаемых за­конов случайных величин будут находиться в виде линейных комбина­ций выборочных квантилей (L-оценок [4] и оптимальных L-оценок [5]).

При проведении данных исследований использовались програм­м­ная система [6] и ее дальнейшие версии [7] и [8], в которых реализован ряд критериев проверки согласия эмпирического распределения с тео­ре­ти­ческой моделью:  Пирсона, отношения правдоподобия, Колмого­рова, Смирнова,  и  Мизеса, Никулина. Здесь и ниже, когда мы употребляем словосочетание “хорошее согласие”, то подразумеваем, что по всем критериям достигнутый уровень значимости, определяемый соотношением

,

где  - значение статистики критерия, вычисленное по наблюдаемой выборке,  - плотность предельного распределения статистики соответствующего критерия при справедливости гипотезы , был очень высок: ³0,6-0,9.

Рис. 1

Например, на рис. 1 представлены результаты моделирования распределения статистики  при вычислении оптимальных L-оценок [5] двух параметров нормального распределения при числе интервалов . На рисунке приведены построенная в результате моделирования эмпирическая функция распределения статистики , функция теоретического -распределения и значения достигнутого уровня зна­чимости  при проверке согласия по каждому из используемых критериев.

Следует полагать, что применение -распределений в каче­стве пре­дель­ных распределений оказывается оправданным и при исполь­зовании ряда других оценок, предусматривающих группирование на­блюдений, в частности, при нахож­дении оценок в результате минимиза­ции модифицированной статистики  [9]

,

где  заменяется на 1, если , в результате минимизации расстоя­ния Хеллингера [9]

,

в результате минимизации дивергенции Кульбака-Лейблера (информа­ции Кульбака-Лейблера) [9]

.

Асимптотические свойства этих оценок эквивалентны свойствам ОМП по группированным наблюдениям и оценкам, минимизирующим стати­стику . Результаты ста­тистического моделирования подтвердили,  что и при использовании данных оценок статистика  подчиня­ется -распределениям.

Если же оценки параметров искать по точечным выборкам (по ис­ходным негруппированным наблюдениям), то предельные распределения статистики  не являются -распределениями. Более того, рас­пределения статистики  становятся зависящими от того, как разбива­ется область определения случайной величины на интервалы [10]. Как вы­глядят распределения статистики  при использовании ОМП по точечным выборкам по сравнению с -распределениями иллюст­рирует рис. 2, на котором приведены распределения  при асимптотически оптимальном группировании (АОГ) [11-13] и при раз­бие­нии на интервалы равной вероятности (РВГ) в случае проверки со­гласия с нормальным распределением с оцениванием двух его парамет­ров и числе интервалов . При оценивании параметров нормального за­кона по группированной выборке статистика  под­чи­нялась бы в дан­ном случае -распределению. Как подчеркивает рис. 2, распределе­ния статистики  и  очень сущес­твенно отли­чаются от -распределения. Игнорирование этого факта на практике часто приводит к неоправдан­ному отклонению проверяе­мой гипо­тезы, к увеличению вероятности ошибок первого рода.

 

Рис. 2

 

К сожалению, примеров, содержащих принципиальные ошибки применения критериев типа  с использованием ОМП по точечным вы­боркам или оценок по методу моментов можно привести очень много. Не в последнюю очередь, это объясняется и тем, что такие ошибки часто со­держатся в литературе учебного характера, рассчитанной на широкий круг читателей [14-15], тиражируются в учебных пособиях и курсах лек­ций. Не всегда уделяется этому внимание при обработке измерительной информации и исследовании законов распределения ошибок измерений [16].

            Среди критериев типа  существует критерий, который преду­сматривает вычисление ОМП по точечным выборкам. В своем роде это уникальный критерий, так как является единственным из всех известных, обладающим свойством “свободы от распределения” при проверке сложных гипотез. Это критерий, предложенный С.М. Никулиным. Ста­тистика типа  Никулина [17-20] отличается от  при сложных гипо­тезах. Предельное распределение этой статистики – обыч­ное распреде­ление  (количество степеней свободы не зависит от числа оценивае­мых параметров!). Неизвестные параметры распределения  в этом случае должны оцениваться по исходной точечной выборке методом максимального правдоподобия. Вектор вероятностей попадания в интер­валы  предпо­ла­га­ется заданным, и границы ин­тер­валов опре­деляются выраже­ниями , .

Данная статистика имеет вид [17]

,                                (3)

где  вычисляется в соответствии с (1). Элементы и размерность мат­рицы

определяются оцениваемыми компонен­тами вектора параметров ,  - эле­менты информационной матри­цы

,

 - элементы вектора , величины  определяются соотношением

.

            При справедливости конкурирующей гипотезы статистика  под­чиняется в качестве предельного  не­цен­тральному -рас­пределению с параметром нецентральности

,                              (4)

где вектор  с элементами .

Распределения статистики Никулина и  прак­тически не зависят от способа разбиения области определения случайной величины на интер­ва­лы [21]. Мощность критерия Никулина при близких альтернативах выше мощности кри­терия Пирсона. Это значит, что с его помощью лучше различаются близкие гипотезы.

Практическое примене­ние критерия Никулина связано с несколько большими вычислитель­ными затратами по сравнению с критерием  Пирсона. Кроме того, вычисление статистики (3) при проверке кон­крет­ной гипотезы требует от пользователя проведения определенных мате­мати­ческих выкладок, что может оказаться несколько затруднительным. Рекомендуемый выход видится в создании соответствующего програм­м­ного обеспечения, включении его в программные системы задач ста­ти­стического анализа, как это сделано в [7,8]. В конечном счете, это оказы­вается оправданным замечательными свойствами критерия.

            Все вышесказанное о предотвращении принципиальных ошибок направлено на уменьшение вероятности ошибок первого рода. Но можно говорить и о снижении вероятности ошибок второго рода, о повышении мощности критериев типа .

При использовании критериев согласия типа  неоднозначность в построении и вычислении статистик связана с выбором числа интервалов и с тем, каким образом область определения случайной величины разби­вается на интервалы (с выбором граничных точек интервалов). Такой произвол отражается на статистических свойствах применяемых крите­риев согласия и, в частности, на мощности критериев, на их способности различать близкие конкурирующие гипотез. Очевидно, что выбор числа интервалов и способа разбиения на интервалы следует осуществлять с позиций обеспечения максимальной мощности применяемого критерия. Однако этому не уделяется внимания ни в регламентирующих докумен­тах, ни в литературных источниках.

Способ группирования оказывает особенно сильное влияние на предельное распределение . В работах [11-13, 22-23] показано, что критерии согласия  Пирсона и отношения правдоподобия [24] при проверке как простых, так и сложных гипотез имеют максимальную мощность против близких альтернатив, если использовать такое разбие­ние области определения случайной величины на интервалы, при кото­ром минимальны потери в информации Фишера о параметрах закона, со­ответствующего гипотезе  (асимптотически оптимальное группи­рова­ние). Чем меньше потери в информации Фишера, связанные с группиро­ванием данных, тем больше параметр нецентральности, определяемый соотно­шением (2). В [11, 23] для конкретных законов распределения пред­ставлен достаточно широкий состав построенных таблиц асимп­то­тиче­ски оптимального группирования (АОГ-груп­пирования), миними­зи­­рую­щего потери в информации Фишера. Табли­цы асимптотически опти­мального группирования (58 таблиц) доступны читателям жур­нала на WEB-сайте [25]. При построении этих таблиц максимизировался опреде­литель информационной матрицы Фишера по группированным наблю­дениям, которая определяется соотношением

.

Использование АОГ-груп­пирования при фиксированном числе ин­тервалов обеспечивает максимальную мощность при близких гипотезах.

Исследование распределений статистики  Никулина, которая отличается от  только при сложных гипотезах, показало, что как , так и  несу­щес­твенно зависят от способа груп­пирования [21]. Более того, наши исследования показали, что с позиций наибольшей мощности разбиение на интервалы равной вероятности (РВГ-группирование) оказывается наиболее предпочти­тельным. Еще раз подчеркнем, что критерий типа  Никулина мощнее, чем критерии  Пирсона и отношения правдоподобия.

Мощность критериев типа  существенно зависит от числа ин­тервалов . Давно известно [26, 27], что, начиная с некоторого значения, при дальнейшем росте числа интервалов  мощность падает. Вообще говоря, для каждой пары альтернатив можно подобрать оптимальное значение числа интервалов, которое зависит от этой пары альтернатив, способа группирования и объема выборки . Для определения числа ин­тервалов предлагалось достаточно много эмпирических формул, обшир­ный перечень которых приводится в [16]. При выводе и построении этих формул опирались на различные требования, но никогда – на требование максимальной мощности. На основании этих формул получают различ­ные, возрастающие с ростом объема выборки рекомендуемые числа ин­тервалов. Причем, далеко не оптимальные, чаще всего существенно за­вышенные.

Зная предельные распределения  и  статистики , для любого заданного уровня значимости  можно оценить мощ­ность соответствующего критерия, рассматривая её как функцию от числа интервалов  при заданном объеме выборки . В работе [28] было проведено исследование мощности критериев Пирсона и Никулина как функции от  и  аналитически и методами статистического моде­лирования. Причем результаты аналитических вычислений оказались полностью подтвержденными оценками мощности, полученными на ос­новании моделирования.

Величина мощности для критериев типа  может быть вычислена в соответствии с выражением [29]:

                (5)

где  - параметр нецентральности, определяемый соотношениями (2) и (4),  представляет собой -процентную точку -распреде­ления с  степенями свободы ( - заданная вероятность ошибки первого рода,  - вероятность ошибки второго рода). Все приводимые ниже функции мощности строились при уровне значимости .

На рис. 3 в зависимости от числа интервалов  при равновероят­ном и асимптотически оптимальном группировании для объема выборок , равного 500 и 5000, представлены функции мощности критерия  Пирсона при проверке простой гипотезы о согласии с экспоненциальным законом (:  при ; против :  при ). И в том, и в другом случае с ростом  мощность падает, но в случае асимптотически оптимального группиро­вания она выше, чем при равновероятном.

 

Рис. 3

 

Аналогично, на рис. 4 приведены функции мощности критерия  Пирсона как функции числа интервалов  для , равного 300 и 2000, при проверке простой гипотезы относительно нормального закона (:  при , ; против : нор­мальный закон при , ).

На рис. 5 приведены функции мощности критерия  Пирсона при проверке сложной гипотезы о согласии с распределением Вейбулла. Рас­сматривались гипотеза :  при ,  и близкая альтернатива – распределе­ние Накагами :  при , , .

Рис. 4

 

Рис. 5

 

Рис. 6 иллюстрирует поведение функции мощности критерия типа  Никулина при использовании равновероятного группирования и про­верке сложной гипотезы о согласии с нормальным законом

: ,

когда в качестве альтернативы рассматривается близкий ему логисти­чес­кий закон

:

при значениях пара­мет­ров , .

Рис. 6

 

Еще раз подчеркнем, что результаты статистического моделирова­ния функций распределения  и  для статистик  рассматриваемых критериев типа  дают оценки мощности очень близ­кие к расчетным значениям функции мощности по соотношению (5).

Способность любых статистических критериев различать гипо­те­зы, то есть их мощность, возрастает с ростом объема выборок. При малых  бывает очень трудно, различить пару близких гипотез, так как очень близкими оказываются распределения  и . Любой практик может заметить, что при малых  с равным успехом могут быть приняты гипотезы о согласии с целым рядом существенно отличающихся моделей законов распределений. Поэтому при малых объемах выборок любой выигрыш в мощности за счет корректного применения критерия особенно ценен.

            Несколько слов о принятии решения по результатам проверки гипотез. В широко распространенной практике статис­тического анализа обычно сравнивают вычисленное значение статистики  с кри­тическим  для дан­ного уровня значимости  и нулевую гипо­тезу отвер­гают, если . Критическое значение , опре­деляемое из уравнения

,

обычно берётся из соответ­ствующей статистической таблицы.

Естественно, что больше информации о степени согласия можно по­черпнуть из величины вероятности возможного превы­шения полученного значе­ния ста­тистики при истинности нулевой гипотезы: . Иногда эту вероятность назы­ва­ют достиг­ну­тым уровнем значимости. Именно она позволяет судить о том, насколько хорошо выборка согласуется с теоретическим распределением, так как по существу пред­став­ляет собой вероятность истинности нулевой гипо­тезы. Чем больше величина , тем лучше. Именно она опре­деляет степень нашей уверенности в том, что предполагаемая модель закона является истинной. Гипо­теза о согласии не должна отвергаться, если .

Поэтому мы рекомендуем при проверке любых гипотез принимать решение на основании найденного значения , для чего можно или воспользоваться таблицей соответствующего распределения, или использовать какой-либо статистический пакет программ.

Заключение

Таким образом, если Вы, применяя критерии типа , стремитесь обеспечить корректность статистических выводов при обработке изме­рительной информации, следует обратить внимание на следующие три мо­мента.

Во-первых, на то, по каким данным вычисляются оценки при про­верке сложных гипотез. Предельными -распределениями для кри­териев  Пирсона и отношения правдоподобия можно пользоваться только при оценивании параметров по группированным наблюдениям. Если Вы в силу понятных причин отдаете предпочтение ОМП по точеч­ным наблюдениям, целесообразней воспользоваться критерием Нику­лина. Используя в данной ситуации критерии  Пирсона и отношения правдоподобия, следует помнить, что величина вероятности , вы­чис­ленная в соответствии с -распределением, оказывается зани­женной по сравнению с истинной.

Во-вторых, на то, каким образом разбить область определения слу­чайной величины на интервалы. Использование асимптотически опти­мального группирования максимизирует мощность критериев  Пирсона и отношения правдоподобия по отношению к близким гипоте­зам в случае простых и сложных гипотез. Кроме того, применение таб­лиц асимптотически оптимального группирования [11, 23, 25], благодаря тому, что они содержат значения вероятностей попадания в интервал, облегчает и процесс вычислений. В случае критерия Никулина можно воспользоваться или асимптотически оптимальным группированием или разбиением на интервалы равных вероятностей.

В-третьих, на выбор числа интервалов. Выбор слишком большого числа интервалов приводит к падению мощности. Оптимальное число интервалов  зависит от объема выборки  и от конкретной пары конку­рирующих гипотез  и . Чаще всего оптимальное  оказывается сущес­твенно меньше значений, рекомендуемых различными регламенти­рующи­ми документами и задаваемых множеством эмпирических фор­мул, представленных в [16]. Максимальная мощность кри­териев при за­данном объеме выборки  часто достигается при минимально возмож­ном или достаточно малом числе интервалов  (см. рис. 3-4). Если Вас интересует конкретная пара альтернатив, относительно которых часто приходится принимать решение, воспользуйтесь соотношением (5) для подбора оптимального числа интервалов  при заданном объеме вы­борки . Если это окажется затруднительным, можно при выборе числа интервалов опираться на таблицы асимптотически оптимального груп­пи­рования [11, 23, 25], выбирая  таким образом, чтобы ожи­даемое число наблю­де­ний, попадающих в любой интервал при асимпто­тически оптимальном группировании, было не очень малым: . Как показывает практика, в этом случае число  обычно оказывается близ­ким к оптимальному.

Выполнив первое условие, мы будем иметь возможность точно вычислять значение критерия, соответствующее задаваемой величине вероятности ошибки первого рода  (или вычислять достигаемый уро­вень значимости по предельному распределению статистики ). Выбрав же оптимальное число интервалов и подобрав оптимальное раз­биение на интервалы, мы получим критерий максимальной мощности, наилучшим образом различающий конкретные конку­риру­ющие гипо­тезы (обеспечивающий минимальную вероятность ошибки второго рода  при заданной вероятности ошибки первого рода ).

В заключение отметим, что тех­ни­ческим комитетом ТК 125 “Стандартизация статистических мето­дов управления качеством” гото­вятся на утверждение Госстандартом РФ методические рекомендации по применению критериев типа , подготовленные на базе [23] и послед­них результатов.

 

1.      Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Нау­ка, 1973. – 900 с.

2.      Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. – 648 с.

3.      Birch M.W. A new proof of the Pearson–Fisher theorem // Ann. Math. Statist. – 1964. V. 35. – P. 817.

4.      Сархан А.Е., Гринберг Б.Г. Введение в теорию порядковых статистик. – М.: Статистика, 1970. – 414 с.

5.      Лемешко Б.Ю. Оптимальные оценки параметров сдвига и масштаба по выборочным квантилям для больших выборок / Тр. третьей меж­дународной научно-технической кон­ференциии “Актуальные про­блемы электронного приборострое­ния АПЭП-96”. – Т. 6. – Ч.1. – Но­восибирск, 1996. – С. 37-44

6.      Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений случайных величин: Программная система. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. – 125 с.

7.      Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Объектно-ориентированная версия программной системы статистического анализа // Материалы меж­ду­народной НТК "Информатика и проблемы телекоммуникаций". – Новосибирск, 1998. – С. 98-99.

8.      Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Система статистического анализа наблюдений и исследования статистических закономерностей // Материалы международной НТК "Информатика и проблемы теле­коммуникаций". – Новосибирск, 2001. – С. 80-81.

9.      Рао. С.Р. Линейные статистические методы и их применения. – М.: Наука, 1968. – 548 с.

10.  Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. О зависимости предельных распре­делений статистик  Пирсона и отношения правдоподобия от спо­соба группирования данных // Заводская лаборатория. 1998. – Т. 64. – № 5. – С.56-63.

11.  Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное группирование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов. В 2-х ч. / Новосиб. гос. техн. ун-т. – Новосибирск, 1993. – 347 с.

12.  Лемешко Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблю­дений - это обеспечение максимальной мощности критериев // На­дежность и контроль качества. 1997. – № 8. – С. 3-14.

13.  Лемешко Б.Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблю­дений в критериях согласия // Заводская лаборатория. 1998. – Т. 64. – №1. – С.56-64.

14.  Левин Б.Р. Теория надежности радиотехнических систем (математи­ческие основы). – М.: Сов. Радио, 1978. – 264 с.

15.  Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Юнити, 2000. – 543 с.

16.  Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов из­ме­рений. – Л.: Энергоатомиздат, 1991. – 303 с.

17.  Никулин М.С. О критерии хи-квадрат для непрерывных распределе­ний // Теория вероятностей и её применение. 1973. – Т.XVIII. – № 3. – С.675-676.

18.  Никулин М.С. Критерий хи-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба // Теория вероятностей и ее приме­нение. 1973. – Т. XVIII. – № 3. – С.583-591.

19.  Мирвалиев М., Никулин М.С. Критерии согласия типа хи-квадрат // За­водская лаборатория. 1992. – Т. 58. – № 3. – С.52-58.

20.  Aguirre N., Nikulin M. Chi-squared goodness-of-fit test for the family of logistic distributions // Kybernetika. 1994. V. 30. – № 3. – P.214-222.

21.  Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н., Чимитова Е.В. О распределениях статистики и мощности критерия типа  Никулина // Заводская ла­боратория. Диагностика материалов. 2001. – Т. 67. – № 3. – С. 52-58.

22.  Денисов В.И., Лемешко Б.Ю. Оптимальное группирование при обра­ботке экспериментальных данных // Измерительные информационные системы. – Новосибирск, 1979. – С. 5-14.

23.  Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. Прикладная стати­с­тика. Правила проверки согласия опытного распределения с тео­рети­ческим. Мето­­дические реко­мен­дации. Часть I. Критерии типа  . – Новоси­бирск: Изд-во НГТУ, 1998. – 126 с.

24.  Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Наука, 1973. – 900 с.

25.  http://www.ami.nstu.ru/~headrd/applied/index.html.

26.  Чибисов Д.М., Гванцеладзе Л.Г. О критериях согласия, основанных на группированных данных // III советско-японский симпозиум по теории вероятностей. Ташкент: изд-во “Фан”, 1975. – С. 183-185.

27.  Боровков А.А. О мощности критерия  при увеличении числа групп // Теория вероятностей и ее применение. 1977. – Т. XXII. – № 2. – С.375-378.

28.  Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В. Максимизация мощности критериев типа  // Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы. Новосибирск, 2000. – № 2. – С. 53-61.

29.  Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.


[1] Работа выполнена при  финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00-01-00913)

 

 

[Содержание]