2.3.2 Методика компьютерного анализа статистических закономерностей

         Очевидно, что бесконечное множество случайных величин, с которым приходится сталкиваться на практике, не может быть описано ограниченным подмножеством моделей законов распределений, наиболее часто используемых для описания реальных наблюдений в приложениях. Любой исследователь для конкретной наблюдаемой величины может предложить (построить) свою параметрическую модель закона, наиболее адекватно, с его точки зрения, описывающего эту случайную величину. После оценки по данной выборке параметров модели возникает необходимость проверки сложной гипотезы об адекватности выборочных наблюдений и построенного закона с использованием критериев согласия.

         Множество всех сложных гипотез бесконечно и заранее иметь распределения G(S|H₀) для любой сложной гипотезы H₀ практически невозможно. Именно поэтому найденные различным образом предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия представлены в литературных источниках лишь для ограниченного ряда распределений, наиболее часто используемых в приложениях, особенно в задачах контроля качества и исследования надежности. Что же делать, если для описания выборки используется закон распределения вероятностей F(x,q) и найдена оценка его параметра , а для проверки сложной гипотезы H₀: F(x)={F(x,q),q ÎQ}, исследователю неизвестно распределение G(S|H₀) статистики соответствующего критерия согласия?

Наиболее целесообразно воспользоваться методикой компьютерного анализа статистических закономерностей, хорошо зарекомендовавшей себя при моделировании распределений статистик критериев [20]-[25].

Для этого следует в соответствии с законом  смоделировать N выборок того же объема n, что и выборка, для которой необходимо проверить гипотезу H₀ : F(x)={F(x,q), q ÎQ}. Далее для каждой из N  выборок вычислить оценки тех же параметров закона, а затем значение статистики S соответствующего критерия согласия. В результате будет получена выборка значений статистики S₁,S₂,…,S_N  с законом распределения G(S_n|H₀) для проверяемой гипотезы H₀. По этой выборке при достаточно большом N можно построить достаточно гладкую эмпирическую функцию распределения G_N(S_n|H₀), которой можно непосредственно воспользоваться для вывода о том, следует ли принимать гипотезу H₀ . При необходимости, можно по G_N(S_n|H₀) построить приближенную аналитическую модель, аппроксимирующую G_N(S_n|H₀), и тогда уже, опираясь на эту модель, принимать решение относительно проверяемой гипотезы.

Как показывает практика, хорошей аналитической моделью для G_N(S_n|H₀) часто оказывается один из следующих четырех законов: логарифмически нормальный, гамма-распределение, распределение Su-Джонсона или распределение Sl-Джонсона [21], [24]. Во всяком случае, всегда можно, опираясь на ограниченное множество законов распределения, построить модель в виде смеси законов [26]-[27].

Реализация такой процедуры компьютерного анализа распределения статистики не содержит ни принципиальных, ни практических трудностей. Уровень вычислительной техники позволяет очень быстро получить результаты моделирования, а реализация алгоритма под силу инженеру, владеющему навыками программирования.

В то же время такая методика анализа распределений статистик имеет и недостатки, связанные с ограниченной точностью построения закона распределения статистики и возможным влиянием качества используемого датчика псевдослучайных чисел [28]. Поэтому при ее реализации обязательно следует контролировать качество датчиков, генерирующих числа в соответствии с требуемыми законами “наблюдаемых” случайных величин. Современные системы программирования включают в себя достаточно хорошие датчики, генерирующие псевдослучайные числа, распределенные по равномерному закону. При необходимости построения собственного датчика можно воспользоваться алгоритмами моделирования, изложенными в [29].

Точность построения закона распределения статистики на основании G_N(S_n|H₀), конечно, можно повышать, увеличивая N. По оценкам [20]-[24], отклонения смоделированного распределения от теоретического при N=2000 обычно имеют порядок » ±0,015. Если поставить такую цель, то, аппроксимируя эмпирические распределения теоретическими законами и усредняя их по реализациям (при многократном моделировании), можно, при необходимости, добиться более высокой точности построения закона распределения исследуемой статистики. Опираясь на построенное распределение G_N(S_n|H₀), можно достаточно точно оценить значение P{S>S^*}, но значения процентных точек, полученные по G_N(S_n|H₀), могут оказаться с существенной погрешностью. На практике же, проверяя различные гипотезы, чаще сравнивают полученное значение статистики S^* с соответствующей процентной точкой предельного распределения, что является менее информативным для принятия решения. Более предпочтительно принимать решение по достигнутому уровню значимости P{S>S^*}.

         Во всех приводимых далее примерах, иллюстрирующих распределения статистик критериев G_N(S_n|H_i), , в зависимости от различных факторов с применением изложенной методики число моделируемых выборок N принимали равным 2000, а их объем n, кроме особо отмеченных случаев, равным 1000.

[Предыдущая][Содержание][Следующая]