Критерии Бартлетта, Кохрена и F-критерий при вероятностных законах, отличающихся от нормального

 

Введение

Критерий Бартлетта

Критерий Кохрена

F-критерий

Заключение

Литература

Приложение 1. Верхние процентные точки для статистики Бартлетта (экспоненциальное семейство с параметром λ=0.5)

Приложение 2. Верхние процентные точки для статистики Бартлетта (экспоненциальное семейство с параметром λ=1)

Приложение 3. Верхние процентные точки для статистики Бартлетта (экспоненциальное семейство с параметром λ=1.5)

Приложение 4. Верхние процентные точки для статистики Бартлетта (экспоненциальное семейство с параметром λ=3)

Приложение 5. Верхние процентные точки для статистики Бартлетта (экспоненциальное семейство с параметром λ=4)

Приложение 6. Верхние процентные точки для статистики Бартлетта (экспоненциальное семейство с параметром λ=5)

Приложение 7. Верхние процентные точки для статистики Бартлетта (экспоненциальное семейство с параметром λ=10)

Приложение 8. Верхние процентные (1%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=0.5)

Приложение 9. Верхние процентные (1%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=1)

Приложение 10. Верхние процентные (1%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=3)

Приложение 11. Верхние процентные (1%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=5)

Приложение 12. Верхние процентные (1%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=10)

Приложение 13. Верхние процентные (5%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=0.5)

Приложение 14. Верхние процентные (5%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=1)

Приложение 15. Верхние процентные (5%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=3)

Приложение 16. Верхние процентные (5%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=5)

Приложение 17. Верхние процентные (5%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=10)

Приложение 18. Верхние процентные (10%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=0.5)

Приложение 19. Верхние процентные (10%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=1)

Приложение 20. Верхние процентные (10%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=3)

Приложение 21. Верхние процентные (10%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=5)

Приложение 22. Верхние процентные (10%) точки для статистики Кохрена (экспоненциальное семейство с параметром λ=10)

Приложение 23. Верхние процентные (1%) точки для статистики Кохрена (нормальный закон, λ=2)

Приложение 24. Верхние процентные (5%) точки для статистики Кохрена (нормальный закон, λ=2)

Приложение 25. Процентные точки F-распределения (5%)

 

[Выход]

 

Ссылка:

Лемешко Б.Ю., Миркин Е.П. Критерии Бартлетта и Кокрена в измерительных задачах при вероятностных законах, отличающихся от нормального // Измерительная техника. 2004. № 10. – С. 10-16.

 

Дальнейшие результаты по критериям однородности дисперсий (критерий Фишера, критерий Бартлетта, критерий Кокрена, критерий Хартли, критерий Левене, мощность критерия):

Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Горбунова А.А. О применении и мощности критериев проверки однородности дисперсий. Ч. I. Параметрические критерии // Измерительная техника. 2010. № 3. – С.10-16.

 

Дальнейшие результаты по критериям однородности дисперсий (непараметрический критерий Ансари-Бредли, критерий Муда, критерий Сижела-Тьюки, критерий Кейпена, критерий Клотца, мощность критерия):

Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Горбунова А.А. О применении и мощности критериев проверки однородности дисперсий. Ч. II. Непараметрические критерии // Измерительная техника. 2010. № 5. – С.11-18.

 

См. также: Прикладная математическая статистика (материалы к семинарам)

 

Введение                        [Вперед]

При статистическом контроле качества для проверки наличия возмущения в ходе процесса, как правило, используется ряд статистических критериев, с помощью которых проверяются гипотезы о постоянстве дисперсий контролируемого показателя или о равен­стве этого показателя номинальному значению. Аналогичные задачи проверки гипотез воз­никают при поверке и аттестации средств измерений и испытательных лабораторий. В лите­ратурных источниках [1, 2] и стандартах [3] в этих целях рассматривается применение крите­риев Бартлетта [4], Кохрена [5] и F–критерия. Первые два критерия применяются для про­верки гипотез о равенстве дисперсий совокупности выборок, а F–критерий – о равенстве ма­тематических ожиданий. В [3] применение критерия Кохрена предусматривается для выде­ления выбросов при анализе точности (прецизионности) измерений испытательных лабора­торий.

Проверяемая гипотеза о постоянстве дисперсии  выборок имеет вид:

.                                                           (1)

а конкурирующая с ней гипотеза –

,                                                                           (2)

где неравенство выполняется, по крайней мере, для одной пары индексов  , .           

Например, в задаче контроля некоторого показателя гипотеза  может утверждать, что, по крайней мере, для двух моментов взятия выборок из общего числа моментов времени m (m выборок, взятых в разные моменты времени) дисперсия имеет разные значения.

Проверяемая гипотеза о постоянстве математических ожиданий задается в виде:

,                                                           (3)

а конкурирующая –

,                                                                           (4)

по крайней мере, для одной пары индексов  , .

В качестве основного предположения при построении критериев Бартлетта, Кохрена и F–критерия и выводе предельных распределений статистик этих критериев выдвигалась принадлежность наблюдаемых случайных величин (ошибок измерений) нормальному закону распределения.

Известно, что ошибки измерительных приборов далеко не всегда описываются нор­мальным законом распределения [6]. Очевидно и то, что в задачах контроля качества регист­рируемые отклонения контролируемого показателя технологического процесса от номиналь­ного (заданного) значения при условии стационарности процесса не всегда подчиняются нормальному закону. При этом сам процесс может удовлетворять всем выдвигаемым требо­ваниям, например, по качеству продукции.

Как поведут себя рассматриваемые критерии при нарушении предположений о нор­мальности наблюдаемых величин? Возможно ли в изменившейся ситуации применение дан­ных критериев в их классическом виде или такие действия приведут к некорректности ре­зультатов?

Цель данной работы состояла в исследовании распределений статистик трех выше­упомянутых критериев при различной степени отклонения распределения наблюдаемых слу­чайных величин от нормального закона и в выработке рекомендаций по применению данных критериев в таких условиях. Пред­ставленные результаты дополняют исследования [7] о по­ведении статистик критериев, используемых для проверки гипотез о дисперсиях и математи­ческих ожиданиях. Как и в [7], основе данных исследований лежала развиваемая методика статистического моделирова­ния и компьютерного анализа, хорошо зарекомендовавшая себя при исследовании статистических закономерно­стей в [8, 9].

Критерий Бартлетта                  [Вперед][Назад]

Статистика критерия Бартлетта вычисляется в соответствии с соотношением [2]:

                                               (5)

где  – объемы выборок, , если математическое ожидание известно, и  , если неизвестно, ,

,

 – оценки выборочных дисперсий. При неизвестном математическом ожидании оценки , где  и .  Если гипотеза  верна, все  и вы­борки извлекаются из нормальной генеральной совокупности, то статистика (5) при­ближенно подчиняется -распределению.

При нормально распределенных наблюдаемых (измеряемых) величинах распреде­ле­ние статистики (5) практически не зависит от изменения объема выборки. Например, на рис. 1 приведены практически совпадающие функции распределения статистики критерия Барт­летта (5) при различных объемах выборок (). Это означает, что в случае нормаль­ности наблюдаемых величин выводы остаются корректными и при очень малых объемах анализируемых выборок.

Рис. 1. Функции распределения статистики классического критерия Бартлетта при различных объемах выборок при

 

В то же время, распределения статистики (5) очень чувствительны к отклонениям на­блюдаемого закона от нормального. Вид распределения статистики (5) исследовался при раз­личных наблюдаемых законах, в частности, в случае принадлежности моделируемых выбо­рок законам логистическому с плотностью

,

Лапласа с плотностью

,

экспоненциальному семейству распределений с различными параметрами формы с плотно­стью

,                                         (6)

где l – параметр формы. Законы нормальный и Лапласа являются частными случаями дан­ного семейства распределений при значениях параметра формы 2 и 1 соответственно. Се­мейство (6) может быть хорошей моделью для законов распределения ошибок различных измерительных систем.

Рис. 2 отражает зависимость распределений статистики (5) от вида наблюдаемого за­кона при различных объемах выборок. Видно, что при отклонении закона распределения на­блюдаемого показателя от нормального закона распределение статистики критерия Барт­летта (5) существенно отличается от -распределения. При этом распределения стати­стики становятся более зависимыми от объема выборки, чем в случае нормального закона.

Рис. 2. Функции распределения статистики Бартлетта при отклонении закона распределения наблюдаемого показателя от нормального при различных объемах выборки и

 

Следовательно, если опираться на классическое предельное -распределение в слу­чае принадлежности наблюдаемой величины распределению Лапласа или логистическому, то даже при справедливости проверяемой гипотезы  о равенстве дисперсий она с боль­шой вероятностью будет отклоняться. На рис. 3 показано, как меняется распределение стати­стики Бартлетта, если наблюдаемая случайная величина подчиняется экспоненциальному семейству распределений с различными значениями параметра формы. Вид функций распре­деления статистики Бартлетта на рис. 3 показывает, что в случаях, когда наблюдаемая случай­ная величина принадлежит распределению экспоненциального семейства, более плос­ковершинному по сравнению с нормальным, то, если мы воспользуемся классическим пре­дельным распределением, неверная проверяемая гипотеза  может приниматься с большой вероятностью.

 

Рис. 3. Функции распределения статистики критерия Бартлетта в случае распределений экспоненциального семейства  с различными значениями параметра формы при  и

 

Представленная на рис. 3 картина хорошо иллюстрирует рассуждения [10], изложенные в [11], по поводу применения классического критерия Бартлетта [4] в случае нарушения предположений о нормальности. При законах распределения наблюдаемых величин, более плосковершинных по сравнению с нормальным (с отрицательными значениями коэффици­ента эксцесса , где – четвертый центральный момент, – дис­персия закона) классический критерий Бартлетта [4] затушевывает разницу в дисперсиях, а в случае более островершинных (при ) – находит различие в дисперсиях, когда та­кого различия нет. Подчеркнем, что ниже аналогичную картину для критерия Кохрена отра­жает рис. 6.

При законах распределения наблюдений, отличающихся от нормального, распреде­ле­ния статистики Бартлетта существенно зависят от объема выборки , однако достаточно хо­рошо сходятся к некоторым предельным законам.

В случае принадлежности наблюдаемых величин распределениям экспоненциального семейства на основании результатов стати­стического моделирования нами построены таб­лицы верхних процент­ных точек (1%, 5%, 10%) статистики Бартлетта для значений пара­метра формы =0.5, 1, 1.5, 3, 4, 5, 10  при различных m и значений  n=10, 50, 100. Процентные точки строи­лись по смоделированным эмпирическим распределениям статистик объемом в 50000 и усреднением по ряду экспериментов. Полученные процентные точки представлены в табли­цах приложений 1-7

Критерий Кохрена          [Вперед][Назад]

В том случае, когда все  одинаковы, ,  возможно использование более простого критерия Кохрена. Статистика Q критерия Кохрена выражается формулой [2]

,                                                                     (7)

где , где m – число независимых оценок дисперсий (число выборок). В [2] говорится, что критерий Кохрена несколько уступает по мощности критерию Барт­летта.

Распределения статистики Кохрена сильно зависят от объема наблюдаемых выборок. Поэтому в справочной литературе приводятся только таблицы процентных точек [2], кото­рые и используются при проверке гипотез. На рис. 4 приведены полученные в результате ком­пьютерного моделирования функции распределения статистики (7) при различных объе­мах выборок. В данном случае число оценок дисперсий m=5.

Рис. 4. Функции распределения статистики критерия Кохрена при различных объемах выборок при m=5

 

Как и критерий Бартлетта, критерий Кохрена используется в предположении, что на­блюдаемая случайная величина принадлежит нормальному закону. Поэтому, представляет интерес, насколько сильно меняется распределение статистики Кохрена (7) в случае определен­ных отклонений закона распределения наблюдаемой случайной величины (кон­тролируемого показателя) от нормального. На рис. 5 представлен вид функции распределе­ния статистики (7), когда при справедливости проверяемой гипотезы  о равенстве диспер­сий выборки наблюдений принадлежат различным законам: нормальному, логистиче­скому и Лапласа. Различие в законах распределения статистики (7) сохраняет характер при раз­личных объемах выборок. На рис. 6 показано, как существенно меняется распределение ста­тистики Кохрена, если наблюдаемая случайная величина подчиняется распределениям экспоненциального семейства с различными параметрами формы. Вид распределений стати­стики (7), представленных на рисунках 5 и 6, позволяет утверждать, что при нарушении нор­мальности выборок, если этого не учитывать, проверяемая гипотеза о равенстве дисперсий может с большой вероятностью отвергаться в случае ее справедливости и приниматься в случае несправедливости.

Рис. 5. Функции распределения статистики критерия Кохрена при отклонении закона распределения наблюдаемого показателя от нормального при различных объемах выборки при m=5

 

Рис. 6. Функции распределения статистики критерия Кохрена в случае распределений экспоненциального семейства с различными значениями параметра формы при  и

 

Распределения статистики Кохрена сильно зависят от объема выборок и очень за­висят от вида наблюдаемого закона. К тому же в [2] утверждается, что по мощности критерий Кохрена уступает критерию Бартлетта. Казалось бы, все это делает его мало привле­кательным при произвольных наблюдаемых законах.

Однако на самом деле, как показали наши исследования, в случае принадлежности наблюдений нормальному закону критерий Кохрена превосходит по мощности критерий Бартлетта.

Например, в таблице 1 для сравнения приведены значения мощности  критериев от­носительно трех различных альтернатив при различных объемах выборок  для вероятно­стей ошибок первого рода =0.1, 0.05, 0.01. Конкурирующая гипотеза предполагает, что одна из выборок, например, выборка с номером  имеет некоторую другую дисперсию. Рас­смотрены альтернативы  : ; :  и : . Остальные  выборки принадлежат нормальному закону с  (). Значе­ния мощности приведены для числа выборок  и достаточно больших объемов выбо­рок, т.к. при малых  мощность данных критериев, то есть их способность различать близкие альтернативы, очень мала.

 

Таблица 1. Мощность критериев Бартлетта и Кохрена относительно альтернатив ,,

:

:

:

Критерий Бартлетта

Критерий Кохрена

Критерий Бартлетта

Критерий Кохрена

Критерий Бартлетта

Критерий Кохрена

200

0.1

0.1706

0.2342

0.3600

0.4778

0.8346

0.9196

0.05

0.1030

0.1078

0.2534

0.3022

0.7568

0.8370

0.01

0.0274

0.0306

0.1064

0.1362

0.5558

0.6708

500

0.1

0.2608

0.3488

0.6712

0.7976

0.9968

0.9990

0.05

0.1682

0.1938

0.5554

0.6598

0.9926

0.9974

0.01

0.0608

0.0726

0.3330

0.4288

0.9702

0.9860

1000

0.1

0.4556

0.4990

0.9432

0.9686

0.9998

1

0.05

0.3340

0.3816

0.8998

0.9410

0.9998

1

0.01

0.1368

0.2034

0.7422

0.8560

0.9996

1

 

Стандарт [3] предполагает применение критерия Кохрена при малых объемах выбо­рок: . Поэтому необходимо иметь ввиду, что в такой ситуации можно надежно разли­чать лишь достаточно далекие альтернативы, когда дисперсии отличаются “в разы”.

В случае принадлежности наблюдаемых величин распределениям экспоненциального семейства на основании результатов стати­стического моделирования нами построены таб­лицы верхних процент­ных точек (1%, 5%, 10%) статистики Кохрена для значений параметра формы =0.5, 1, 3, 5, 10  при различных m и ряда значений  n. Процентные точки строились по смоделированным эмпирическим распределениям статистик объемом в 50000 и усредне­нием по ряду экспериментов. Полученные процентные точки представлены в таблицах при­ложений 8-22.

F-критерий                          [Вперед][Назад]

В литературных источниках [1] утверждается, что если гипотеза о постоянстве дис­персий верна  (это можно проверить с помощью критериев Бартлетта или Кохрена), то с по­мощью F-критерия можно проверить гипотезу о постоянстве математического ожидания. В этом случае проверяемая и конкурирующая гипотезы имеют вид (3) – (4).

Пусть у нас имеется  выборок объема . Общая сумма квадратов отклонений по всем выборкам

,

где

,

раскладывается на два компонента

,

,

.

Компонент  является мерой различия в уровнях настройки между  выборками, в то время как   определяет различие в уровнях настройки внутри  выборок.

Для проверки гипотезы (3) можно воспользоваться F-критерием, основанным на стати­стике:

.                                                              (8)

Если все выборки извлекаются из нормальной генеральной совокупности, то при справедливости гипотезы  статистка (8) имеет распределение Фишера со степенями сво­боды = m-1 в числителе и = m(n-1) в знаменателе [1].

Исследования методами статистического моделирования распределений статистики (8) при различных объемах выборок показали, что статистика (8) F-критерия уже при доста­точно малых объемах выборок (но достаточно больших ) практически не зависит от вели­чины . Эмпирические функции распределения статистики для различных объемов выборок при нормальном распределении контролируемого показателя приведены на рис. 7. Вид –распределений Фишера при больших  также практически не меняется.

F-критерий, как и критерии проверки гипотез о дисперсиях, предполагает, что наблю­даемая величина имеет нормальное распределение. Именно в этом случае предельным рас­пределением статистики (8) является –распределение Фишера. Как ведет себя функция распределения статистики (8) при нарушении предположения о нормальности иллюстрирует рис. 8, на котором представлены функции распределения статистики (8) при наблюдаемых за­конах нормальном, логистическом, логнормальном и Лапласа при различных объемах вы­борок. Визуально при одном и том же объеме выборок полученные распределения практиче­ски не отличаются. Применение критериев согласия также позволяет утверждать, что значи­мого изменения распределений статистик из-за нарушений предположений о нормальности не происходит. То есть F-критерий оказывается очень устойчивым, и его применение с опо­рой на предельное –распределение Фишера остается корректным и в тех случаях, ко­гда наблюдаемый закон существенно отличается от нормального.

 

Рис. 7. Функции распределения статистики F-критерия при различных объемах выборок при  

 

Рис. 8. Функции распределения статистики F-критерия при различных наблюдаемых законах и различных m ()

 

Заключение                [Вперед][Назад]

Таким образом, критерии Бартлетта и Кохрена весьма чувствительны к отклонениям закона наблюдаемого показателя от нормального. Корректное применение этих критериев требует знания распределений статистик при конкретных законах наблюдаемых величин. Если наблюдаемый закон отличается от нормального, применение классических результатов недопустимо. В тех случаях, когда наблюдаемые величины хорошо описываются распреде­лением экспоненциального семейства с некоторым параметром формы , можно воспользо­ваться полученными в данной работе таблицами соответствующих верхних процентных то­чек.

 При необходимости регулярных проверок гипотез о дисперсиях при некоторой кон­кретной модели наблюдаемого закона для нахождения (в этих условиях) распределения ста­тистики критерия Бартлетта (или Кохрена) можно рекомендовать воспользоваться мето­дикой статистического моделирования и последующего компьютерного анализа полученной зако­номерности.

В отличие от критериев Бартлетта и Кохрена F-критерий намного устойчивее к от­клонениям от нормальности контролируемого показателя. Применяя F-критерий, класси­че­ским предельным –распределением Фишера можно пользоваться при сущес­твенных от­клонениях наблюдаемого закона от нормального.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ (проект № Т02-3.3-3356)

 

[Назад][В начало]

 

1.      Миттаг Х.-Й., Ринне Х. Статистические методы обеспечения качества. – М.: Машинострое­ние. 1995.  – 600 с.

2.      Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.

3.      ГОСТ Р ИСО 5725–1–2002 ÷ ГОСТ Р ИСО 5725–6–2002. Точность (правильность и преци­зионность) методов и результатов измерений. – М.: Изд-во стандар­тов. 2002.

4.      Bartlett M.S. Properties of sufficiency of statistical tests // Proc. Roy. Soc., 1937, Series A, Vol. 31. – P. 268-282.

5.      Cochran W.G. The distribution of the largest of a set of estimated variances as a fraction of their total // Ann. of eugenics, 1941, 11. – P. 47-52.

6.      Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов из­ме­рений. – Л.: Энерго­атомиздат, 1991. – 303 с.

7.      Лемешко Б.Ю., Помадин С.С. Проверка гипотез о математических ожиданиях и диспер­сиях в задачах метрологии и контроля качества при вероятностных законах, отличаю­щихся от нормального // Измерительная техника. 2004. (в печати)

8.      Р 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная стати­стика. Правила про­верки согласия опытного распределения с теорети­ческим. Часть I. Критерии типа хи-квадрат. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 87 с.

9.      Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная стати­стика. Правила про­верки согласия опытного распределения с теорети­ческим. Часть II. Непараметрические критерии. – М.: Изд-во стандар­тов. 2002. – 64 с.

10.  Box G.E.P. Non-normality and tests on variances // Biometrika. 1953. Vol. 40. – P. 318-335.

11.  Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Физматгиз, 1980. – 628 с.

 

[Выход из раздела][В начало]

 


Приложение 1. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) критерия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 0.5

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

8.696

10.939

14.566

18.995

22.022

50

14.398

18.441

25.350

34.179

40.460

100

15.958

20.577

28.389

38.719

46.408

3

10

16.171

19.154

24.118

30.235

34.591

50

26.409

31.592

40.114

50.923

58.713

100

28.854

34.664

44.376

56.351

65.263

4

10

23.277

26.993

33.024

40.476

45.464

50

37.134

43.203

52.957

64.867

73.391

100

40.707

47.370

58.375

71.864

82.102

5

10

29.973

34.342

41.283

49.656

55.635

50

47.535

54.264

64.982

78.312

87.494

100

51.569

58.996

70.986

86.084

96.910

6

10

36.668

41.594

49.386

58.652

64.895

50

57.216

64.410

76.019

90.038

100.490

100

61.923

69.856

82.460

98.508

109.961

7

10

43.170

48.439

56.918

66.787

73.452

50

66.746

74.484

86.958

102.256

113.151

100

72.396

80.886

94.512

111.502

123.382

8

10

49.845

55.546

64.543

75.261

82.565

50

76.011

84.196

97.263

113.256

124.592

100

82.481

91.723

106.246

123.946

136.624

9

10

56.174

62.298

71.848

82.708

90.034

50

85.347

94.062

108.034

124.733

136.179

100

92.070

101.661

116.739

135.901

149.048

10

10

62.403

68.915

78.809

90.654

98.478

50

94.255

103.387

117.872

135.062

147.106

100

102.088

112.184

128.069

147.559

161.180

 

 


Приложение 2. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) критерия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 1 (распределению Лапласа)

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

3.962

5.099

7.039

9.574

11.367

50

4.778

6.213

8.782

12.290

14.930

100

4.923

6.419

9.069

12.701

15.425

3

10

7.253

8.707

11.162

14.272

16.513

50

8.782

10.625

13.740

17.786

20.797

100

8.947

10.834

14.060

18.292

21.395

4

10

10.290

11.978

14.778

18.237

20.816

50

12.261

14.399

17.905

22.417

25.798

100

12.633

14.831

18.520

23.295

26.868

5

10

13.035

14.955

18.090

21.926

24.813

50

15.646

18.023

21.930

26.834

30.543

100

16.045

18.472

22.477

27.694

31.540

6

10

15.752

17.854

21.230

25.432

28.485

50

18.747

21.308

25.506

30.755

34.633

100

19.220

21.866

26.225

31.448

35.432

7

10

18.351

20.602

24.189

28.655

31.983

50

21.870

24.628

29.063

34.627

38.713

100

22.450

25.299

29.865

35.603

39.872

8

10

20.996

23.365

27.218

32.084

35.661

50

24.881

27.786

32.502

38.263

42.486

100

25.588

28.577

33.406

39.498

43.765

9

10

23.529

26.059

30.053

35.102

38.648

50

27.884

30.958

35.896

42.091

46.435

100

28.533

31.711

36.717

43.111

47.483

10

10

26.042

28.682

32.986

38.182

41.853

50

30.776

33.979

39.201

45.358

49.875

100

31.554

34.819

40.135

46.717

51.317

 


 

Приложение 3. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) критерия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 1.5

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

2.628

3.420

4.808

6.646

8.068

50

2.800

3.650

5.197

7.344

8.964

100

2.829

3.700

5.208

7.372

9.000

3

10

4.810

5.809

7.511

9.722

11.351

50

5.157

6.246

8.096

10.499

12.296

100

5.133

6.210

8.079

10.525

12.409

4

10

6.785

7.950

9.874

12.268

14.066

50

7.182

8.420

10.496

13.211

15.197

100

7.233

8.495

10.627

13.461

15.461

5

10

8.595

9.873

11.964

14.550

16.452

50

9.147

10.561

12.861

15.764

17.880

100

9.188

10.597

12.895

15.957

18.122

6

10

10.319

11.729

13.972

16.764

18.799

50

10.960

12.443

14.915

18.038

20.270

100

11.032

12.519

14.988

18.062

20.324

7

10

12.007

13.473

15.880

18.859

21.052

50

12.756

14.380

16.984

20.227

22.641

100

12.859

14.496

17.129

20.418

22.883

8

10

13.690

15.257

17.816

20.934

23.310

50

14.499

16.238

18.977

22.340

24.820

100

14.605

16.330

19.198

22.653

25.144

9

10

15.319

16.997

19.640

22.891

25.239

50

16.284

18.066

20.933

24.516

27.224

100

16.346

18.158

21.054

24.683

27.258

10

10

16.946

18.680

21.451

24.802

27.241

50

17.940

19.789

22.814

26.486

29.123

100

18.071

19.977

23.023

26.796

29.535

 


Приложение 4. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) критерия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 3

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

1.588

2.093

3.015

4.297

5.343

50

1.487

1.948

2.791

3.968

4.895

100

1.486

1.936

2.752

3.890

4.772

3

10

2.913

3.552

4.688

6.198

7.061

50

2.739

3.327

4.331

5.669

6.636

100

2.699

3.263

4.244

5.564

6.570

4

10

4.109

4.865

6.127

7.828

9.070

50

3.819

4.490

5.631

7.120

8.266

100

3.784

4.453

5.602

7.081

8.176

5

10

5.194

6.032

7.417

9.204

10.518

50

4.874

5.635

6.902

8.481

9.673

100

4.811

5.554

6.778

8.401

9.611

6

10

6.248

7.143

8.659

10.562

11.954

50

5.833

6.640

7.964

9.672

10.911

100

5.778

6.570

7.890

9.532

10.737

7

10

7.271

8.213

9.790

11.801

13.300

50

6.792

7.669

9.108

10.901

12.199

100

6.738

7.609

9.012

10.795

12.079

8

10

8.272

9.289

10.942

13.021

14.571

50

7.735

8.647

10.155

12.008

13.382

100

7.680

8.600

10.085

11.922

13.241

9

10

9.260

10.339

12.091

14.278

15.829

50

8.676

9.647

11.203

13.156

14.558

100

8.565

9.513

11.054

12.965

14.347

10

10

10.233

11.343

13.116

15.347

16.946

50

9.559

10.557

12.189

14.204

15.633

100

9.470

10.461

12.068

14.098

15.582

 


Приложение 5. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) критерия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 4

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

1.386

1.837

2.664

3.854

4.817

50

1.257

1.646

2.361

3.363

4.159

100

1.246

1.631

2.317

3.262

4.020

3

10

2.553

3.126

4.155

5.540

6.627

50

2.317

2.812

3.669

4.801

5.645

100

2.266

2.753

3.571

4.678

5.542

4

10

3.605

4.280

5.432

7.009

8.142

50

3.220

3.801

4.772

6.044

6.995

100

3.186

3.752

4.717

5.955

6.884

5

10

4.563

5.316

6.579

8.229

9.443

50

4.116

4.761

5.839

7.184

8.205

100

4.040

4.670

5.718

7.091

8.107

6

10

5.491

6.296

7.674

9.429

10.727

50

4.926

5.618

6.743

8.199

9.245

100

4.865

5.532

6.644

8.044

9.068

7

10

6.382

7.236

8.677

10.537

11.951

50

5.738

6.485

7.704

9.238

10.329

100

5.670

6.403

7.596

9.090

10.159

8

10

7.263

8.196

9.687

11.615

13.042

50

6.538

7.311

8.593

10.179

11.347

100

6.457

7.234

8.476

10.050

11.171

9

10

8.130

9.110

10.698

12.694

13.778

50

7.330

8.153

9.484

11.144

12.352

100

7.207

8.024

9.333

10.948

12.101

10

10

8.986

9.989

11.605

13.671

15.141

50

8.073

8.930

10.319

12.048

13.260

100

7.965

8.812

10.174

11.851

13.098

 


Приложение 6. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) критерия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 5

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

1.280

1.704

2.489

3.619

4.525

50

1.135

1.491

2.138

3.055

3.780

100

1.124

1.472

2.095

2.945

3.634

3

10

2.363

2.905

3.871

5.204

6.000

50

2.094

2.546

3.325

4.354

5.125

100

2.048

2.489

3.228

4.228

5.021

4

10

3.340

3.979

5.072

6.594

7.699

50

2.911

3.442

4.320

5.473

6.343

100

2.876

3.388

4.260

5.382

6.227

5

10

4.234

4.942

6.146

7.726

7.717

50

3.727

4.312

5.041

6.511

7.451

100

3.652

4.214

5.173

6.414

7.312

6

10

5.093

5.860

7.171

8.837

10.112

50

4.459

5.084

6.109

7.421

8.404

100

4.391

4.991

6.004

7.265

8.188

7

10

5.920

6.728

8.099

9.882

11.234

50

5.209

5.886

6.980

8.382

9.355

100

5.122

5.780

6.864

8.208

9.183

8

10

6.741

7.616

8.685

10.883

12.242

50

5.914

6.623

7.790

9.217

10.312

100

5.839

6.547

7.666

9.072

10.079

9

10

7.545

8.469

9.976

11.904

13.297

50

6.630

7.385

8.604

9.721

11.215

100

6.500

7.241

8.433

9.884

10.910

10

10

8.336

9.287

10.831

12.800

14.202

50

7.315

8.098

9.369

10.928

12.035

100

7.208

7.970

9.208

10.729

11.819

 


Приложение 7. Верхние процентные (´100%) точки для статистики (5) критерия Бартлетта, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает  степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 10

 

0.15

0.1

0.05

0.02

0.01

2

10

1.115

1.493

2.206

3.255

4.118

50

0.950

1.244

1.789

2.567

3.157

100

0.933

1.221

1.741

2.460

3.019

3

10

2.063

2.552

3.442

4.687

5.671

50

1.747

2.126

2.776

3.645

4.308

100

1.701

2.069

2.690

3.515

4.182

4

10

2.919

3.502

4.522

5.939

7.008

50

2.437

2.885

3.624

4.587

5.321

100

2.385

2.815

3.537

4.485

5.188

5

10

3.711

4.354

5.474

6.957

8.070

50

3.112

3.602

4.414

5.458

6.246

100

3.030

3.500

4.305

5.336

6.079

6

10

4.468

5.173

6.382

7.952

9.169

50

3.718

4.246

5.115

6.222

7.055

100

3.653

4.166

5.008

6.055

6.829

7

10

5.199

5.939

7.209

8.905

10.165

50

4.340

4.911

5.837

7.031

7.876

100

4.253

4.803

5.709

6.842

7.673

8

10

5.911

6.513

8.054

9.775

11.075

50

4.938

5.533

6.515

7.730

8.633

100

4.844

5.429

6.361

7.521

8.357

9

10

6.638

7.464

8.873

10.663

12.018

50

5.548

6.176

7.198

8.498

9.214

100

5.397

6.023

7.018

8.227

9.116

10

10

7.317

8.181

9.622

11.487

12.813

50

6.118

6.764

7.831

9.167

10.065

100

5.981

6.617

7.639

8.909

9.813

 


Приложение 8. Верхние процентные (1%) точки для статистики (7) критерия Кохрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 0.5

 

m\v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.99998

0.9993

0.9977

0.9960

0.9941

0.9913

0.9871

0.9833

0.9796

0.9769

0.9568

0.9001

0.7625

3

0.9990

0.9925

0.9857

0.9758

0.9688

0.9588

0.9492

0.9413

0.9329

0.9287

0.8862

0.7798

0.5967

4

0.9938

0.9821

0.9653

0.9573

0.9370

0.9245

0.9041

0.8927

0.8806

0.8755

0.8133

0.6853

0.4790

5

0.9864

0.9690

0.9483

0.9271

0.9095

0.8799

0.8658

0.8513

0.8357

0.8262

0.7502

0.6009

0.4103

6

0.9806

0.9476

0.9241

0.8950

0.8706

0.8512

0.8294

0.8149

0.7989

0.7691

0.6850

0.5345

0.3475

7

0.9682

0.9338

0.8998

0.8695

0.8387

0.8160

0.8059

0.7740

0.7513

0.7284

0.6421

0.4909

0.3139

8

0.9591

0.9208

0.8772

0.8489

0.8115

0.7997

0.7628

0.7391

0.7187

0.7013

0.6021

0.4470

0.2729

9

0.9470

0.9065

0.8585

0.8208

0.7958

0.7610

0.7366

0.7039

0.6877

0.6635

0.5640

0.4186

0.2501

10

0.9403

0.8964

0.8398

0.8023

0.7674

0.7347

0.6987

0.6769

0.6533

0.6187

0.5398

0.3885

0.2264

12

0.9207

0.8513

0.8048

0.7661

0.7201

0.6880

0.6541

0.6200

0.5984

0.5806

0.4823

0.3467

0.1949

15

0.8861

0.8148

0.7591

0.7078

0.6588

0.6141

0.5900

0.5595

0.5333

0.5173

0.4159

0.2857

0.1615

20

0.8369

0.7592

0.6760

0.6170

0.5801

0.5386

0.5055

0.4791

0.4486

0.4323

0.3406

0.2262

0.1249

24

0.7902

0.7131

0.6337

0.5790

0.5238

0.4794

0.4560

0.4229

0.4042

0.3857

0.2978

0.1960

0.1058

30

0.7439

0.6542

0.5693

0.5094

0.4682

0.4133

0.3932

0.3652

0.3452

0.3270

0.2516

0.1627

0.0873

40

0.6696

0.5729

0.4866

0.4209

0.3843

0.3507

0.3181

0.2933

0.2741

0.2650

0.1987

0.1287

0.0665

60

0.5682

0.4550

0.3800

0.3330

0.2835

0.2513

0.2373

0.2112

0.2008

0.1947

0.1410

0.0900

0.0465

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Приложение 9. Верхние процентные (1%) точки для статистики (7) критерия Кохрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 1 (распределению Лапласа)

 

m\v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.99995

0.9972

0.9898

0.9782

0.9749

0.9647

0.9488

0.9387

0.9264

0.9174

0.8717

0.7856

0.6594

3

0.9970

0.9695

0.9407

0.9079

0.8856

0.8659

0.8413

0.8269

0.8083

0.7908

0.7240

0.6063

0.4746

4

0.9813

0.9312

0.8807

0.8551

0.8002

0.7869

0.7438

0.7337

0.7036

0.7104

0.6117

0.4991

0.3723

5

0.9532

0.8884

0.8285

0.7748

0.7345

0.6996

0.6721

0.6549

0.6350

0.6222

0.5378

0.4154

0.3066

6

0.9360

0.8358

0.7648

0.7296

0.6759

0.6381

0.6147

0.5934

0.5764

0.5519

0.4695

0.3634

0.2590

7

0.8969

0.7964

0.7267

0.6780

0.6194

0.5916

0.5780

0.5495

0.5210

0.5051

0.4196

0.3250

0.2282

8

0.8744

0.7718

0.6825

0.6241

0.5767

0.5553

0.5204

0.4987

0.4712

0.4566

0.3799

0.2874

0.2019

9

0.8461

0.7313

0.6544

0.5959

0.5496

0.5097

0.4848

0.4532

0.4403

0.4240

0.3421

0.2632

0.1802

10

0.8237

0.7147

0.6092

0.5530

0.5106

0.4792

0.4496

0.4251

0.4063

0.3937

0.3222

0.2415

0.1637

12

0.7737

0.6479

0.5654

0.5006

0.4575

0.4274

0.3959

0.3770

0.3608

0.3470

0.2815

0.2093

0.1378

15

0.7159

0.5770

0.4959

0.4504

0.3936

0.3656

0.3396

0.3275

0.3043

0.2967

0.2418

0.1759

0.1125

20

0.6235

0.5008

0.4078

0.3552

0.3269

0.3028

0.2793

0.2689

0.2508

0.2386

0.1897

0.1340

0.0857

24

0.5715

0.4414

0.3686

0.3195

0.2945

0.2631

0.2454

0.2302

0.2180

0.2072

0.1638

0.1151

0.0723

30

0.5117

0.3833

0.3154

0.2743

0.2569

0.2184

0.2061

0.1969

0.1840

0.1727

0.1368

0.0942

0.0587

40

0.4277

0.3211

0.2583

0.2214

0.1999

0.1838

0.1632

0.1538

0.1430

0.1366

0.1055

0.0733

0.0451

60

0.3311

0.2462

0.1941

0.1671

0.1437

0.1283

0.1176

0.1063

0.1034

0.0971

0.0738

0.0503

0.0306

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Приложение 10. Верхние процентные (1%) точки для статистики (7) критерия Кохрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 3

 

m\v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.99992

0.9932

0.9768

0.9423

0.9251

0.9058

0.8711

0.8572

0.8376

0.8208

0.7615

0.6745

0.5907

3

0.9919

0.9265

0.8598

0.7900

0.7576

0.7176

0.6873

0.6635

0.6535

0.6355

0.5667

0.4847

0.4059

4

0.9636

0.8446

0.7412

0.6666

0.6250

0.5947

0.5644

0.5576

0.5159

0.5134

0.4497

0.3780

0.3122

5

0.9286

0.7671

0.6341

0.5824

0.5364

0.4985

0.4757

0.4593

0.4410

0.4310

0.3683

0.3085

0.2545

6

0.8650

0.6769

0.5620

0.5027

0.4581

0.4415

0.4142

0.3961

0.3750

0.3682

0.3164

0.2644

0.2132

7

0.8121

0.6133

0.5214

0.4562

0.4091

0.3871

0.3659

0.3446

0.3310

0.3222

0.2779

0.2308

0.1843

8

0.7690

0.5504

0.4606

0.4069

0.3635

0.3460

0.3239

0.3118

0.2974

0.2862

0.2458

0.2039

0.1624

9

0.7170

0.5137

0.4243

0.3743

0.3364

0.3143

0.2977

0.2742

0.2694

0.2579

0.2197

0.1819

0.1448

10

0.6610

0.4745

0.3914

0.3393

0.3071

0.2883

0.2723

0.2548

0.2454

0.2354

0.2002

0.1648

0.1307

12

0.6027

0.4231

0.3329

0.2925

0.2636

0.2454

0.2316

0.2144

0.2106

0.2013

0.1712

0.1389

0.1101

15

0.5215

0.3431

0.2783

0.2452

0.2146

0.2045

0.1911

0.1781

0.1715

0.1662

0.1414

0.1132

0.0888

20

0.4156

0.2791

0.2191

0.1883

0.1714

0.1567

0.1483

0.1384

0.1324

0.1272

0.1075

0.0861

0.0671

24

0.3641

0.2341

0.1848

0.1615

0.1437

0.1321

0.1246

0.1157

0.1125

0.1082

0.0919

0.0727

0.0562

30

0.3059

0.1929

0.1541

0.1343

0.1192

0.1093

0.1030

0.0956

0.0921

0.0874

0.0743

0.0591

0.0452

40

0.2417

0.1509

0.1200

0.1026

0.0911

0.0839

0.0776

0.0730

0.0712

0.0679

0.0569

0.0448

0.0341

60

0.1685

0.1069

0.0831

0.0716

0.0628

0.0574

0.0531

0.0500

0.0492

0.0460

0.0388

0.0307

0.0229

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Приложение 11. Верхние процентные (1%) точки для статистики (7) критерия Кохрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 5

 

m\v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.99991

0.9931

0.9751

0.9354

0.9155

0.8881

0.8565

0.8393

0.8172

0.7993

0.7396

0.6556

0.5778

3

0.9945

0.9309

0.8341

0.7670

0.7355

0.6945

0.6568

0.6320

0.6225

0.6075

0.5416

0.4645

0.3961

4

0.9651

0.8351

0.7114

0.6444

0.5889

0.5577

0.5313

0.5227

0.4861

0.4819

0.4225

0.3616

0.3040

5

0.9135

0.7327

0.5969

0.5378

0.4998

0.4653

0.4402

0.4246

0.4074

0.3965

0.3451

0.2932

0.2468

6

0.8597

0.6521

0.5211

0.4730

0.4234

0.4024

0.3825

0.3631

0.3466

0.3392

0.2953

0.2496

0.2066

7

0.7989

0.5680

0.4686

0.4105

0.3757

0.3538

0.3305

0.3179

0.3053

0.2942

0.2579

0.2170

0.1785

8

0.7498

0.5277

0.4166

0.3659

0.3320

0.3130

0.2935

0.2843

0.2724

0.2604

0.2284

0.1904

0.1571

9

0.6913

0.4775

0.3765

0.3382

0.3028

0.2831

0.2716

0.2511

0.2443

0.2352

0.2053

0.1711

0.1398

10

0.6514

0.4488

0.3402

0.3070

0.2727

0.2576

0.2461

0.2293

0.2230

0.2134

0.1846

0.1551

0.1265

12

0.5688

0.3764

0.2945

0.2564

0.2331

0.2199

0.2081

0.1943

0.1907

0.1804

0.1581

0.1301

0.1063

15

0.4868

0.3034

0.2416

0.2148

0.1910

0.1800

0.1721

0.1581

0.1530

0.1488

0.1283

0.1056

0.0854

20

0.3774

0.2415

0.1877

0.1643

0.1487

0.1386

0.1316

0.1219

0.1189

0.1131

0.0986

0.0806

0.0645

24

0.3301

0.2017

0.1609

0.1395

0.1265

0.1164

0.1092

0.1040

0.0993

0.0950

0.0833

0.0674

0.0541

30

0.2694

0.1616

0.1298

0.1153

0.1027

0.0946

0.0904

0.0850

0.0814

0.0773

0.0669

0.0546

0.0434

40

0.2093

0.1271

0.1017

0.0874

0.0782

0.0729

0.0681

0.0641

0.0624

0.0596

0.0511

0.0415

0.0327

60

0.1409

0.0865

0.0693

0.0600

0.0538

0.0494

0.0464

0.0438

0.0428

0.0408

0.0346

0.0284

0.0220

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Приложение 12. Верхние процентные (1%) точки для статистики (7) критерия Кохрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 10

 

m\v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.99991

0.9926

0.9743

0.9320

0.9113

0.8783

0.8466

0.8287

0.8053

0.7861

0.7258

0.6451

0.5707

3

0.9944

0.9257

0.8253

0.7540

0.7186

0.6789

0.6368

0.6136

0.6008

0.5849

0.5253

0.4530

0.3904

4

0.9656

0.8267

0.6875

0.6199

0.5657

0.5344

0.5124

0.4977

0.4694

0.4627

0.4072

0.3505

0.2985

5

0.9149

0.7169

0.5791

0.5140

0.4757

0.4439

0.4213

0.4060

0.3888

0.3791

0.3339

0.2839

0.2419

6

0.8588

0.6383

0.5001

0.4491

0.4037

0.3817

0.3594

0.3448

0.3290

0.3214

0.2837

0.2420

0.2032

7

0.7908

0.5505

0.4455

0.3872

0.3523

0.3325

0.3148

0.3021

0.2892

0.2791

0.2445

0.2089

0.1751

8

0.7414

0.4978

0.3960

0.3411

0.3135

0.2923

0.2780

0.2674

0.2567

0.2479

0.2180

0.1836

0.1538

9

0.6791

0.4513

0.3568

0.3150

0.2837

0.2666

0.2535

0.2391

0.2295

0.2209

0.1948

0.1643

0.1368

10

0.6285

0.4168

0.3186

0.2846

0.2541

0.2418

0.2297

0.2151

0.2094

0.2010

0.1368

0.1491

0.1238

12

0.5526

0.3504

0.2725

0.2385

0.2184

0.2036

0.1921

0.1818

0.1763

0.1698

0.1498

0.1246

0.1041

15

0.4615

0.2823

0.2217

0.1960

0.1774

0.1656

0.1582

0.1476

0.1437

0.1391

0.1209

0.1018

0.0839

20

0.3556

0.2183

0.1727

0.1497

0.1363

0.1283

0.1211

0.1134

0.1099

0.1049

0.0928

0.0773

0.0630

24

0.3079

0.1806

0.1443

0.1270

0.1150

0.1079

0.1010

0.0955

0.0918

0.0888

0.0781

0.0647

0.0528

30

0.2475

0.1422

0.1166

0.1036

0.0935

0.0863

0.0824

0.0776

0.0746

0.0713

0.0629

0.0522

0.0423

40

0.1856

0.1110

0.0898

0.0782

0.0711

0.0664

0.0623

0.0588

0.0571

0.0548

0.0478

0.0396

0.0319

60

0.1231

0.0737

0.0615

0.0536

0.0480

0.0448

0.0422

0.0399

0.0394

0.0374

0.0323

0.0269

0.0214

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Приложение 13. Верхние процентные (5%) точки для статистики (7) критерия Кохрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 0.5

 

m\v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.9996

0.9957

0.9900

0.9841

0.9777

0.9716

0.9625

0.9596

0.9544

0.9479

0.9180

0.8473

0.7150

3

0.9918

0.9718

0.9571

0.9383

0.9195

0.9061

0.8985

0.8898

0.8717

0.8543

0.8066

0.6999

0.5347

4

0.9756

0.9388

0.9123

0.8915

0.8663

0.8462

0.8250

0.8093

0.7976

0.7938

0.7228

0.6039

0.4325

5

0.9589

0.9122

0.8723

0.8384

0.8192

0.7954

0.7770

0.7587

0.7435

0.7220

0.6650

0.5321

0.3604

6

0.9348

0.8840

0.8301

0.8046

0.7786

0.7589

0.7310

0.7133

0.7020

0.6853

0.6056

0.4716

0.3093

7

0.9128

0.8517

0.8203

0.7732

0.7454

0.7197

0.7004

0.6809

0.6590

0.6424

0.5564

0.4183

0.2758

8

0.8957

0.8280

0.7740

0.7473

0.7180

0.6829

0.6687

0.6322

0.6218

0.5999

0.5154

0.3880

0.2448

9

0.8789

0.8095

0.7578

0.7204

0.6837

0.6535

0.6262

0.6092

0.5916

0.5648

0.4897

0.3562

0.2232

10

0.8567

0.7785

0.7362

0.6853

0.6564

0.6346

0.5946

0.5882

0.5592

0.5354

0.4530

0.3308

0.2042

12

0.8329

0.7473

0.6871

0.6446

0.6139

0.5768

0.5538

0.5306

0.5097

0.4932

0.4069

0.2867

0.1735

15

0.7835

0.7001

0.6381

0.5990

0.5543

0.5261

0.4975

0.4804

0.4576

0.4334

0.3517

0.2433

0.1432

20

0.7260

0.6268

0.5744

0.5326

0.4815

0.4560

0.4235

0.4048

0.3842

0.3661

0.2881

0.1929

0.1103

24

0.6851

0.5848

0.5352

0.4774

0.4446

0.4131

0.3834

0.3623

0.3393

0.3230

0.2507

0.1673

0.0937

30

0.6359

0.5394

0.4744

0.4268

0.3860

0.3585

0.3299

0.3126

0.2936

0.2731

0.2112

0.1386

0.0778

40

0.5650

0.4765

0.4023

0.3601

0.3266

0.2987

0.2712

0.2514

0.2346

0.2236

0.1669

0.1088

0.0601

60

0.4646

0.3787

0.3204

0.2767

0.2457

0.2159

0.1984

0.1840

0.1710

0.1606

0.1193

0.0772

0.0417

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Приложение 14. Верхние процентные (5%) точки для статистики (7) критерия Кохрена, построенной по m независимым оценкам дисперсии, каждая из которых обладает n степенями свободы. Выборка принадлежит распределению экспоненциального семейства с параметром формы 1 (распределению Лапласа)

 

m\v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

36

144

2

0.9990

0.9843

0.9658

0.9472

0.9282

0.9096

0.8938

0.8850

0.8703

0.8622

0.8154

0.7279

0.6230

3

0.9782

0.9238

0.8789

0.8423

0.8039

0.7838

0.7595

0.7395

0.7248

0.7095

0.6414

0.5478

0.4432

4

0.9377

0.8520

0.8030

0.7467

0.7061

0.6786

0.6577

0.6351

0.6234

0.6042

0.5335

0.4473

0.3459

5

0.8939

0.7880

0.7173

0.6830

0.6465

0.6063

0.5845

0.5574

0.5471

0.5236

0.4656

0.3769

0.2835

6

0.8569

0.7367

0.6624

0.6157

0.5702

0.5506

0.5256

0.4953

0.4822

0.4636

0.4073

0.3265

0.2388

7

0.8107

0.6898

0.6200

0.5704

0.5302

0.4999

0.4810

0.4544

0.4354

0.4205

0.3642

0.2825

0.2100

8

0.7651

0.6497

0.5707

0.5294

0.4924

0.4596

0.4330

0.4157

0.3979

0.3893

0.3330

0.2555

0.1853

9

0.7358

0.6090

0.5466

0.5009

0.4524

0.4314

0.4066

0.3899

0.3709

0.3569

0.3032

0.2326

0.1667

10

0.7103

0.5781

0.5112

0.4646

0.4261

0.3983

0.3794

0.3589

0.3440

0.3295

0.2758

0.2144

0.1518

12

0.6517

0.5312

0.4606

0.4146

0.3792