Построение оптимальных L-оценок параметров сдвига и масштаба по выборочным асимптотически оптимальным квантилям

L-оценки параметров сдвига m и масштаба s используются в тех случаях, когда закон распределения полностью определяется только этими параметрами с функцией распределения F[(x-m)/s] и функцией плотности f[(x-m)/s]/s .

L-оценки параметров распределений, формируемые как линейные комбинации порядковых статистик или выборочных квантилей, обладают двумя важными для широкого практического применения качествами: чрезвычайной простотой вычислений и очень хорошими свойствами робастности. Самой сложной операцией при вычислении таких оценок является сортировка имеющейся выборки по возрастанию (формирование вариационного ряда) с целью определения выборочных квантилей наблюдаемого закона. Значения выборочных квантилей x(i) находятся при разбиении области определения случайной величины (размаха выборки) на интервалы, величины которых пропорциональны вероятностям Pi попадания в интервал при асимптотически оптимальном группировании: число попаданий в интервал выбирается равным nPi, где n - объем выборки. Подробнее с формированием оценок можно познакомиться в работе, опубликованной в Сибирском журнале индустриальной математики. (2001. - Т.4. - № 2. - С. 166-183.), и в работе, опубликованной журналом “Заводская лаборатория. Диагностика материалов”, где проведено дополнительное исследование свойств этих оценок. Там же приводятся ссылки на первоисточники.

Оценивание неизвестного m при известном s осуществляется по формуле

m = a 0s + a 1x(1) + a 2x(2) + ... + a k-1x(k-1)                                                                  (1)

Оценивание неизвестного s при известном m осуществляется по формуле

s = b 0m + b 1x(1) + b 2x(2) + ... + b k-1x(k-1) .                                                                     (2)

При оценивании сразу двух параметров используются соотношения:

m = g 1x(1) + g 2x(2) + ... + g k-1x(k-1),                                                                               (3)

s = n 1x(1) + n 2x(2) + ... + n k-1x(k-1).                                                                              (4)

 Значения x(i), фигурирующие в формулах (1), (2, (3) и (4), следует выбирать из ус­ловия

,

где  X(i) - члены вариационного ряда X(1) X(2) ≤ … ≤ X(n), построенного по исходной вы­борке, , [.] - означает целую часть числа, а Pj  - выбираются из соответствующей строки таблицы оптимальных вероят­нос­тей приложения А. Например, в качестве x(i)  могут быть взяты средние значения между соответствую­щими соседними членами вариационного ряда.

Значения коэффициентов для формул (1), (2), (3) и (4), соответствующие конкретным законам распределений, выбираются из таблиц приложения П.

Указания на используемые таблицы оптимальных вероятностей и таблицы коэффициентов a i, b i, g i, n i содержатся в нижеприведенной таблице 1.

Таблица 1. Указания на используемые таблицы оптимальных вероятностей и таблицы с коэффициентами для вычисления L-оценок

Распределение

Оцениваемый параметр

№ формулы

Таблица вероятностей

Таблица коэффициентов

Нормальное

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.25

А.27

А.29

А.29

П.1

П.2

П.3

П.4

Логарифмически нормальное (ln)[1]

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.25

А.27

А.29

А.29

П.1

П.2

П.3

П.4

Логарифмически нормальное (lg)[2]

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.25

А.27

А.29

А.29

П.1

П.2

П.3

П.4

Логистическое

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

Равновероятные

А.43

А.45

А.45

П.5

П.6

П.7

П.8

Коши

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.39

А.37

Равновероятные

Равновероятные

П.9

П.10

П.11

П.12

Минимального значения

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.2

А.21

А.23

А.23

П.13

П.14

П.15

П.16

Максимального значения

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.31

А.33

А.35

А.35

П.17

П.18

П.19

П.20

Экспоненциальное (показательное)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.2

А.2

А.2

А.2

П.21

П.22

П.23

П.24

Модуля многомерного нормального вектора (m=1, полунормальное)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.7

А.7

А.7

А.7

П.25

П.26

П.27

П.28

Модуля многомерного нормального вектора (m=2, Рэлея)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.2

А.2

А.2

А.2

П.29

П.30

П.31

П.32

Модуля многомерного нормального вектора (m=3, Максвелла)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.5

А.5

А.5

А.5

П.33

П.34

П.35

П.36

Модуля многомерного нормального вектора (m=4)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.9

А.9

А.9

А.9

П.37

П.38

П.39

П.40

Модуля многомерного нормального вектора (m=5)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.11

А.11

А.11

А.11

П.41

П.42

П.43

П.44

Модуля многомерного нормального вектора (m=6)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.13

А.13

А.13

А.13

П.45

П.46

П.47

П.48

Модуля многомерного нормального вектора (m=7)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.15

А.15

А.15

А.15

П.49

П.50

П.51

П.52

Модуля многомерного нормального вектора (m=8)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.17

А.17

А.17

А.17

П.53

П.54

П.55

П.56

Модуля многомерного нормального вектора (m=9)

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.19

А.19

А.19

А.19

П.57

П.58

П.59

П.60

Лапласа[3]

m (известно s )

s (известно m )

m

s

1

2

3

4

А.48

А.48

А.48

А.48

П.61

П.62

П.63

П.64

 

 [Гл. меню]

 



[1] В формулах (1)-(4)  заменяется на .

 

[2] В формулах (1)-(4)  заменяется на .

[3] Коэффициенты в таблицах П.61-П.64 соответствуют первому варианту (первой строке) оптимальных вероятностей из таблицы А.48 при соответствующем .